Question

7．物体万有引力场中具有的势能叫引力势能．取两物体相距无穷远时的引力势能为零．一个质量为m₀的质点距离质量为M₀的引力源中心为r₀时，其引力势能E_P=-$\frac{G{M}_{0}{m}_{0}}{{r}_{0}}$（式中G为引力常数）．一颗质量为m的人造地球卫星以圆形轨道环绕地球飞行，已知地球的质量为M，由于受高空稀薄空气的阻力作用．卫星的圆轨道半径从r₁逐渐减小到r₂，若在这个过程中空气阻力做功为W_f，则在下面给出的W_f的四个表达式中正确是（　　）

• A． W_f=-GMm（$\frac{1}{{r}_{1}}$-$\frac{1}{{r}_{2}}$）
• B． W_f=-$\frac{GMm}{2}$（$\frac{1}{{r}_{2}}$-$\frac{1}{{r}_{1}}$）
• C． W_f=-$\frac{GMm}{3}$（$\frac{1}{{r}_{1}}$-$\frac{1}{{r}_{2}}$）
• D． W_f=-$\frac{2GMm}{3}$（$\frac{1}{{r}_{2}}$-$\frac{1}{{r}_{1}}$）

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力求出卫星在半径为r₁圆形轨道运动的速度，从而知道动能，通过引力势能公式求出在轨道r₁上的机械能，同理可以求出卫星在轨道r₂上的机械能，卫星的圆轨道半径从r₁逐渐减小到r₂．在这个过程中客服空气阻力做功W_f等于卫星机械能的减少．

解答 解：卫星在圆轨道半径从r₁上时，根据万有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{{r}_{1}}^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$，解得${v}_{1}=\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}}}$，
所以${E}_{k1}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=\frac{GMm}{2{r}_{1}}$，
卫星的总机械能：E₁=E_k1+E_p1=$\frac{GMm}{2{r}_{1}}-\frac{GMm}{{r}_{1}}$=-$\frac{GMm}{2{r}_{1}}$，
同理：卫星的圆轨道半径从r₂上时，${E}_{k2}=\frac{GMm}{2{r}_{2}}$，
卫星的总机械能：${E}_{2}=-\frac{GMm}{2{r}_{2}}$，
卫星的圆轨道半径从r₁逐渐减小到r₂．在这个过程中空气阻力做功为W_f，等于卫星机械能的减少：-W_f=E₁-E₂=$\frac{GMm}{2}（\frac{1}{{r}_{2}}-\frac{1}{{r}_{1}}）$，则W_f=-$\frac{GMm}{2}$（$\frac{1}{{r}_{2}}$-$\frac{1}{{r}_{1}}$）．
故选：B．

点评 解决本题的关键得出卫星动能和势能的和即机械能的变化量，从而客服空气阻力做功为W_f等于卫星机械能的减少这个功能关系计算即可．