Question

14．如图所示，带电平行金属板相距为2R，在两板间半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，两板及其左侧边缘连线均与磁场边界刚好相切．一带正电粒子（不计重力）沿两板间中心线O₁O₂从左侧O₁点以某一速度射入，沿直线通过圆形磁场区域，然后恰好从极板边缘飞出，在极板间运动时间为t₀．若仅撤去磁场，质子仍从O₁点以相同速度射入，经$\frac{t_0}{2}$时间打到极板上．求：
（1）两极板间电压U；
（2）若两极板不带电，保持磁场不变，带电粒子仍沿中心线O₁O₂从O₁点射入，欲使带电粒子从左侧飞出两板间，入射速度v应满足什么条件．

Answer 1

分析 （1）质子进入正交的电磁场中，做匀速直线运动，才能沿直线通过圆形磁场区域，受到的洛伦兹力与电场力平衡，质子离开圆形区域后做类平抛运动，由图知，水平位移为L-2R，竖直位移为R，而水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，根据平衡条件、牛顿第二定律和运动学公式列式，可求得U；
（2）先求出质子从极板间飞出时的沿电场方向分速度大小 v_y，再由速度合成得到质子从极板间飞出时的速度大小．

解答 解：（1）设带电粒子从左侧O₁点射入的速度为v₀，极板长为L，在圆形区域内匀速运动时：
qE-qv₀B=0 …①
U=E•2R …②
在电场中作类平抛运动时：
L-2R=v₀t…③
R=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t² …④
L=v₀t₀…⑤
撤去磁场，仅受电场力作用，有：
R=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$（$\frac{{t}_{0}}{2}$）² …⑥
联解①②③④⑤⑥得：U=$\frac{8B{R}^{2}}{{t}_{0}}$…⑦

（2）设带电粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r，质子恰好从上极板左边缘飞出，作出其运动轨迹如图所示．…⑧
由几何关系可知：
R=r+$\sqrt{2}$r …⑨
由牛顿定律：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ …⑩
联解⑨⑩得：v=$\frac{2（\sqrt{2}-1）R}{{t}_{0}}$ …⑪
所以带电粒子射入的速度应满足：
0＜v＜$\frac{2（\sqrt{2}-1）R}{{t}_{0}}$…⑫
答：（1）两极板间电压U为$\frac{8B{R}^{2}}{{t}_{0}}$；
（2）若两极板不带电，保持磁场不变，带电粒子仍沿中心线O₁O₂从O₁点射入，欲使带电粒子从左侧飞出两板间，入射速度v应满足0＜v＜$\frac{2（\sqrt{2}-1）R}{{t}_{0}}$．

点评 本题实质是粒子速度选择器与类平抛运动的综合，分析质子的受力情况，来确定其运动情况是关键，并要熟练运用动力学方法处理类平抛运动．