Question

假若几年后中国人乘宇宙飞船探索月球并完成如下实验：①当飞船停留在距月球一定的距离时，正对着月球发出一个激光脉冲，经过时间t后收到反射回来的信号，并测得此刻月球对观察者眼睛的视角为θ；②当飞船在月球表面着陆后，科研人员在距月球表面h处以初速度v₀水平抛出一个小球，并测出落点到抛出点的水平距离为s．已知万有引力常量为G，光速为c，月球的自转影响以及大气对物体的阻力均不计．试根据以上信息，求：
（1）月球的半径R；
（2）月球的质量M．

Answer 1

分析：（1）激光在真空中传播速度为c，由题意，激光脉冲经过时间t后收到反射回来的信号，则飞船到月球表面的距离为d=c?

1

2

t．作出视角示意图，由数学知识求月球的半径．
（2）根据万有引力等于重力，可列式求得月球表面的重力加速度与月球质量的关系．小球在月球表面做平抛运动的加速度就等于表面的重力加速度，根据平抛运动的规律求得重力加速度，联立即可求得月球的质量．

解答：解：（1）设飞船离月球表面的距离为d，由题意得
      2d=ct
根据图示示意图，由几何知识得 R=(d+R)sin

θ

2

解得：R=

ctsin θ 2

2(1-sin θ 2 )

（2）设月球表面的重力加速度为g_月，则
  mg_月=

GMm

R2

得 g月=

GM

R2

小球做平抛运动，则有
  h=

1

2

g月t2
  s=v₀t   
联立解得：M=

c2t2 v 2 0 sin2 θ 2

2Gs2(1-sin θ 2 )2

答：
（1）月球的半径R为

ctsin θ 2

2(1-sin θ 2 )

；
（2）月球的质量M为

c2t2 v 2 0 sin2 θ 2

2Gs2(1-sin θ 2 )2

．

点评：本题是几何知识、万有引力和平抛运动的综合，对于常见的抛体运动与万有引力的综合题，要抓住它们之间联系的纽带是重力加速度．根据万有引力等于重力，知道月球的半径和表面的重力加速度即可求得月球的质量．