Question

13．某一传送带装置如图所示，其中传送带的AB段是水平的，CD段是倾斜的，CD与水平方向的夹角为θ=37°，B、C之间用小段圆弧（圆弧由光滑模板形成，未画出，长度可忽略）平滑连接，且AB、CD均与BC相切，AB段长为L=3m．此装置由电动机带动，传送带始终以v₀=5m/s的速度沿顺时针方向转动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦．现将质量为m=10kg的木箱轻放于A处，木箱与传送带的水平段和倾斜段间的动摩擦因数均为μ=0.5．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）木箱从A传送到B所需的时间；
（2）要使木箱传送到D处所在的平台上，D到水平段AB的最大高度h；
（3）若在25分钟时间内，恰有600个同样的木箱均刚好能运送到D处，求电动机输出的平均功率P．

Answer 1

分析 （1）木箱刚放在水平传送带上，在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，运用牛顿第二定律和运动学公式求出匀加速运动到速度与传送带相同的时间和位移，之后木箱做匀速运动，再由位移和速度求出时间，从而得到总时间．
（2）由动能定理求解工件上升的最大高度h．或由牛顿第二定律求出加速度，由运动学公式求解最大高度．
（3）对木箱运用动能定理列式，根据相对位移求出摩擦生热，由能量守恒定律求解即可．

解答 解：（1）木箱在AB上加速时的加速度为：${a_0}=\frac{μmg}{m}=5m/{s^2}$
速度达到v₀=5m/s时滑行的距离为：${x_0}=\frac{v_0^2}{{2{a_0}}}=2.5m$，因此木箱从A点开始先加速后匀速到达B点．
匀加速运动时间为：${t_1}=\frac{v_0}{a_0}=1s$，
匀速运动时间为：${t_2}=\frac{{L-{x_0}}}{v_0}=0.1s$
故从A到B的时间为：t=t₁+t₂=1.1s
（2）设木箱在CD上运动的加速度大小为a，由牛顿第二定律得：
 mgsinθ-μmgcosθ=ma，
代人数据得 a=2m/s²
它能上滑的最大高度为h，则 $\frac{h}{sinθ}=\frac{v_0^2}{2a}$，h=3.75m．
（3）木箱在AB上运动时，克服摩擦产生的热量为：Q₁=f（2x₀-x₀）
对木箱，有 $f{x_0}=\frac{1}{2}mv_0^2$，故 ${Q_1}=\frac{1}{2}mv_0^2=125J$
依题意，木箱在CD上减速至D点速度恰好为零，则有：${x_相}=\frac{2h}{sin37°}-\frac{h}{sin37°}$
此过程中系统产生的热量为：${Q_2}=f{x_相}=μmgcos37°•\frac{h}{sin37°}=250J$ 
根据能量守恒，在T=25×60s=1500s时间内，电动机输出的能量为：E=600Q₁+600Q₂+600mgh，
平均功率为：$P=\frac{E}{T}=300W$
答：（1）木箱从A传送到B所需的时间是1.1s；
（2）要使木箱传送到D处所在的平台上，D到水平段AB的最大高度h为3.75m；
（3）电动机输出的平均功率P为300W．

点评 本题关键分析清楚工件的运动情况，根据牛顿第二定律求解出加速过程的加速度，再根据运动学公式和动能定理列式求解．