Question

10．如图，在x轴下方的区域内存在方向与y轴相同的匀强电场．在x轴上方以原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B．y轴下方的A点与O点的距离为d，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从A点由静止释放，经电场加速后从O点射入磁场．粒子重力不计，求：
（1）要使粒子离开磁场时的速度方向与x轴平行，电场强度E₀大小；
（2）若电场强度E=$\frac{2}{3}$E₀，粒子离开磁场后经过x轴时的位置与原点的距离．

Answer 1

分析 （1）使粒子离开磁场时的速度方向与x轴平行，作出轨迹图，结合几何关系求出粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径，结合半径公式和动能定理求出电场强度E₀大小；
（2）根据电场强度的大小，结合动能定理和半径公式求出粒子在磁场中运动的轨道半径，通过几何关系求出粒子离开磁场后经过x轴时的位置与原点的距离．

解答 解：（1）粒子在电场中加速，由动能定理得：
qEd=$\frac{1}{2}$mv²…①
粒子进入磁场后做圆周运动，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…②
粒子之后恰好不再经过x轴，则离开磁场时的速度方向与x轴平行，运动情况如图①，可得
R=$\sqrt{2}$r…③
由以上各式解得
E₀=$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$．
（2）将E=$\frac{2}{3}$E₀代入可得磁场中运动的轨道半径
r=$\frac{R}{\sqrt{3}}$…④
粒子运动情况如图②，图中的角度α、β满足
cosα=$\frac{\frac{R}{2}}{r}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
即α=30°…⑤
β=2α=60°…⑥
粒子经过x轴时的位置坐标为x=r+$\frac{r}{cosβ}$…⑦
解得x=$\sqrt{3}$R…⑧
答：（1）要使粒子离开磁场时的速度方向与x轴平行，电场强度E₀大小为$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$．
（2）粒子离开磁场后经过x轴时的位置与原点的距离为$\sqrt{3}$R．

点评 本题是带电粒子在复合场中运动的类型，运用动能定理、牛顿第二定律和几何知识结合进行解决，有一定的难度．