Question

19．如图甲所示，M，N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时问的变化如图乙所示（垂直于纸面向里的磁场方向为正方向）．有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场，己知正离子质量为胡，带电荷量为q正离子在磁场中做匀速圆周 运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T₀，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．
求：（1）磁感应强度B₀的大小；
（2）若正离子从O′孔垂直于N板射出磁场所用的时间最短，请画出其运动轨迹并求出该最短时间；
（3）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v₀的可能值．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力，结合圆周运动的周期公式，可求出磁感应强度．
（2）结合题目的要求，做出粒子在磁场中运动的轨迹，结合粒子运动的方向可知，当运动的轨迹是一个周期时，运动的时间最短；
（3）由几何关系可确定运动半径与已知长度的关系，由正离子在两板运动n个周期，从而即可求解．

解答 解：（1）正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力${B}_{0}q{v}_{0}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
做匀速圆周运动的周期，${T}_{0}=\frac{2πR}{{v}_{0}}$  
联立两式得磁感应强度，${B}_{0}=\frac{2πm}{q{T}_{0}}$
（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v₀的方向应如图所示，
结合粒子运动的方向可知，当运动的轨迹是一个周期时，运动的时间最短，所以：t_m=T₀
（3）两板之间正离子只运动一个周期，即T₀，则$R=\frac{d}{4}$
两板之间正离子运动n个周期，即nT₀，则R=$\frac{d}{4n}$，
联立上式可得，正离子的速度${v}_{0}=\frac{{B}_{0}qR}{m}$=$\frac{πd}{2n{T}_{0}}\;（n=1，2，3…）$
答：（1 ）磁感应强度B₀的大小 ${B}_{0}=\frac{2πm}{q{T}_{0}}$；
（2）若正离子从O′孔垂直于N板射出磁场所用的时间最短，画出其运动轨迹如图，该最短时间是T₀；
（3）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v₀的可能值为$\frac{πd}{2n{T}_{0}}$（n=1，2，3…）．

点评 考查离子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，掌握牛顿第二定律的应用，理解几何关系的运用，同时注意运动的周期性．