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如图所示,阻值为R的电阻串于光滑的固定在水平面上等边三角形水平导轨OPQ上,导轨在O点断开.磁感应强度为B、方向竖直向下、宽度为d的条形磁场区域与PQ平行,质量为m的导体棒中点接在劲度系数为k的弹簧的一端,弹簧的另一端固定.导体棒始终与PQ平行,且与导轨保持良好接触,弹簧无伸长时,导体棒停于M处,现将导体棒拉至N处后自由释放,若M至顶点O,以及M、N到磁场边沿的距离均为d,导轨和导体棒的阻值忽略不计,求:(提示:弹簧的弹性势能公式为EP=
kx22
,x为弹簧的形变量)
(1)计算导体棒释放后,第一次穿越条形磁场区域过程中,电阻R中通过的电荷量q.
(2)测得导体棒从N处释放后第一次向左通过磁场右边界b时速度为v.求第一次向右运动穿越磁场区域中电阻R产生的焦耳热Q.
(3)经过一定时间后,棒会处于怎样的运动状态,请简要地分析说明.
分析:(1)第一次穿越条形磁场区域过程中,电阻R中通过的电荷量q=
△Φ
R
=
B△S
R
,由几何知识求出回路面积的变化量△S,即可求出电量q.
(2)在N到a过程中,只有弹簧的弹力做功,机械能守恒,则可由机械能守恒求出导体棒到达磁场左边界时的动能.导体棒穿过磁场右边界后只受到弹簧弹力作用,机械能守恒,导体棒向右和向左经过磁场右边界时,速度大小不变,仍为v0.导体棒从磁场左边界到右边界的过程中,弹簧的弹性势能减小转化为导体棒的动能和回路中的内能,根据能量守恒定律求解第一次向右运动穿越磁场区域中电阻R产生的焦耳热Q.
(3)导体棒每次穿过磁场区时,都有安培力做功产生电热,振幅不断减小,最后导体棒不能进入磁场而做简谐运动.
解答:解:(1)根据等边三角形的边长关系,易求得△s=
5
3
3
d2

根据电量公式求得:q=∑i△t=∑ 
△φ
△tR
△t=
B△S
R
=
5
3
3R
Bd2

(2)设导体棒到达磁场左边界时速度大小为v1,在N到a过程中,弹簧做功有
 
1
2
k(3d)2-
1
2
k(2d)2=
1
2
m
v
2
1
1
2
m
v
2
1
=
5
2
kd2

由于导体棒穿过磁场右边界后,只受到弹簧弹力作用,系统的机械能守恒,故导体棒向左运动穿过和返回磁场右边界时,速度大小不变,仍为v0,根据能量守恒关系可知   
1
2
m
v
2
1
+
1
2
k
d
2
1
=
1
2
m
v
2
0
+
1
2
k
d
2
2
+Q
,Q为焦耳热.
故解得,Q=4k
d
2
 
-
1
2
m
v
2
0

(3)由于每次穿过磁场区时,都有安培力做功产生电热,可知棒的振幅逐渐变小,最后棒不再返回磁场区,在只受到弹簧弹力的作用下做简谐运动.
答:
(1)第一次穿越条形磁场区域过程中,电阻R中通过的电荷量q为
5
3
3R
Bd2

(2)第一次向右运动穿越磁场区域中电阻R产生的焦耳热Q为4kd2-
1
2
m
v
2
0

(3)棒不再返回磁场区,在只受到弹簧弹力的作用下做简谐运动.
点评:本题中感应电量的公式q=
△Φ
R
=
B△S
R
,利用求和的方法推导,要学会应用.第2问是能量守恒的应用,分析能量如何转化是关键.
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A.回路电流I1:I2=1:2
B.产生热量Q1:Q2=1:2
C.通过金属棒任一截面的电荷量q1:q2=1:2
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A.回路电流I1:I2=1:2

B.产生热量Q1:Q2=1:2

C.通过金属棒任一截面的电荷量q1:q2=1:2

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