Question

如图示，竖直平面内半圆形管道ADB固定在CD杆上，AB为直径，CD过圆心O且与AB垂直，半圆管道右半BD部分光滑，左半AD部分有摩擦，圆管道半径R=OB=0.2m，E点为圆管道BD中的一点，OE与CD夹角为θ=60°，两个完全相同的可看作质点的小球，球直径略小于管道内径，小球质量m=0.1kg，g=10m/s²，求：
（1）如图甲所示，当圆管道绕CD杆匀速转动时，要使小球稳定在管道中的E点，角速度ω应该多大？
（2）如图乙所示，圆管道保持静止，在圆管道D点处放置一静止小球，另一小球由静止开始从B端管口放入，该球经过D点时（未与另一小球相碰）对管道的压力？
（3）接（2）问，两球在D点相碰（碰撞时间极短）后粘在一起能运动到最高点F，OF与CD夹角为α=37⁰，求此过程中摩擦力所做的功？

Answer 1

分析：（1）对小球受力分析，小球受重力、支持力作用做匀速圆周运动，合外力提供向心力，根据向心力公式列方程即可正确求解；
（2）根据机械能守恒求出小球经过D点时的速度大小，然后正确受力分析，根据向心力公式列方程求解即可；
（3）碰撞过程中动量守恒，根据动量守恒求出二者碰后速度大小，然后根据动能定理列方程即可求解

解答：解：（1）小球在E点时受重力和管道的弹力，其合力提供向心力，由牛顿第二定律可得：
mgtanθ=mω²r
r=Rsinθ
联立解得：ω=10rad/s．
要使小球稳定在管道中的E点，角速度ω=10rad/s．
（2）设小球运动到D点时速度为v₁，由机械能守恒定律可得：

1

2

m

v

2 1

=mgR
解得：v₁=2m/s
设小球受到管道的弹力为N₂，沿半径方向由牛顿第二定律可得：

m v 2 1

R

=N2-mg
解得：N₂=3N
故根据牛顿第三定律，小球过D点时对管道的压力为：3N．
（3）设碰后瞬间两球的速度为v₂，根据动量守恒定律：
mv₁=2mv₂
解得：v₂=1m/s．
设摩擦力做功为w，由功能关系可得：
-2mgR(1-cosα)+W=-

1

2

(2m)

v

2 2

解得：W=-0.02J．
故该过程中摩擦力所做功为：W=-0.02J．
答：（1）如图甲所示，当圆管道绕CD杆匀速转动时，要使小球稳定在管道中的E点，角速度ω应该为10rad/s；
（2）如图乙所示，圆管道保持静止，在圆管道D点处放置一静止小球，另一小球由静止开始从B端管口放入，该球经过D点时（未与另一小球相碰）对管道的压力为3N；
（3）接（2）问，两球在D点相碰（碰撞时间极短）后粘在一起能运动到最高点F，OF与CD夹角为α=37⁰，此过程中摩擦力所做的功为-0.02J．

点评：处理圆周运动问题的思路是：找圆心，定半径，受力分析，列向心力公式方程，本题结合圆周运动考查了功能关系、动量守恒等知识，是考查学生综合应用知识能力的好题．