Question

地球的两颗人造卫星质量之比m₁：m₂=1：2，圆周轨道半径之比r₁：r₂=1：2．求：（1）线速度之比；（2）角速度之比；（3）运行周期之比；（4）向心力之比．

Answer 1

分析：（1）根据万有引力充当向心力，产生的效果公式可得出线速度和轨道半径的关系，可得结果；（2）根据圆周运动规律可得线速度和角速度以及半径的关系，直接利用上一小题的结论，简化过程；
（3）根据圆周运动规律可得运行周期和角速度之间的关系，直接利用上一小题的结论，简化过程；（4）根据万有引力充当向心力可得向心力和质量以及半径的关系．

解答：解：设地球的质量为M，两颗人造卫星的线速度分别为V₁、V₂，角速度分别为ω₁、ω₂，运行周期分别为T₁、T₂，向心力分别为F₁、F₂；
（1）根据万有引力和圆周运动规律  G

mM

r2

=m

V2

r

  得 V=

GM r

∴

V1

V2

=

GM r1 GM r2

=

r2 r1

=

2 1

=

2

1

 故二者线速度之比为 

2

：1．
（2）根据圆周运动规律          v=ωr    得 ω=

v

r

      
∴

ω1

ω2

=

V1

V2

?

r2

r1

=

2 2

1

 故二者角速度之比为  2

2

：1．
（3）根据圆周运动规律       T=

2π

ω

            
∴

T1

T2

=

ω2

ω1

=

1

2 2

 故二者运行周期之比为  1：2

2

．
（4）根据万有引力充当向心力公式  F=G

mM

r2

∴

F1

F2

=

m1

m2

?

r 2 2

r 2 1

=

2

1

 故二者向心力之比为 2：1．

点评：此题利用简单的条件考查了人造卫星做圆周运动的线速度，角速度，周期和向心力之比．具有一定的递进性质，可直接利用上一小题的结论简化过程．如果不敢保证成功率，可以每一小题都用万有引力和圆周运动规律的关系来解，不过都和第一小题类似，转换公式的次数较多，且不易合理安排卷面．此为中档题