Question

20．如图所示，由质量为m、电量为q的不同速率的正离子组成的离子束，经小孔O射入有匀强电场（场强大小为E）与匀强磁场（场强大小为B）的速度选择器内，只有速率为某一值v₁的离子才能沿入射方向作匀速直线运动，当它通过宽度为d的缝射入另一个只有匀强磁场（场强大小为B′，方向垂直于纸面向外）的区域，离子将做匀速圆周运动．
（1）求运动轨迹不发生偏折的离子的初速度v₁；
（2）如果初速为v₂（已知）的离子（v₂＞v₁）在射出速度选择器时的侧移正好为$\frac{d}{2}$，求这种离子射出后所做圆周运动的半径．

Answer 1

分析 （1）离子不发生偏转，离子做匀速直线运动，应用平衡条件可以求出离子的速度．
（2）粒子在电场中加速，由动能定理求出粒子进入磁场的速度，
离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律可以求出粒子的轨道半径．

解答 解：（1）正离子进入电场和磁场后，轨迹不发生偏折，由平衡条件得：qE=qv₁B，解得：v₁=$\frac{E}{B}$，
（2）因为v₂＞v₁，所以速率为v₂的正离子所受洛仑兹力大于电场力，离子必向上偏折，
设从缝边射出时速率为v₂′，由于洛仑兹力对其不做功，据动能定理有：$-Eq•\frac{d}{2}=\frac{1}{2}m{v'_2}^2-\frac{1}{2}mv_2^2$，
该正离子在磁场B'中作匀速圆周运动时有：$B'q{v'_2}=m\frac{{{{v'}_2}^2}}{R}$，
由以上二式解得：$R=\frac{1}{qB'}\sqrt{{m^2}v_2^2-mqEd}$；
答：（1）运动轨迹不发生偏折的离子的初速度v₁为$\frac{E}{B}$．
（2）如果初速为v₂（已知）的离子（v₂＞v₁）在射出速度选择器时的侧移正好为$\frac{d}{2}$，这种离子射出后所做圆周运动的半径为$\frac{1}{qB′}$$\sqrt{{m}^{2}{v}_{2}^{2}-mqEd}$．

点评 本题考查了求离子速度、离子轨道半径问题，分析清楚离子运动过程，应用平衡条件，动能定理、牛顿第二定律即可正确解题．