Question

如图所示，空间存在磁感应强度为B，方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是相互平行的粗糙的长直金属导轨，处于同一水平面内，间距为L，电阻不计，在导轨左端连有电阻、电源和单刀双掷开关，电阻阻值为R，电源电动势为E，内阻为r；ab是垂直跨接在导轨上质量为m、电阻也为R的导体棒，它与导轨间的动摩擦因数μ．单刀双掷开关扳到1时，导体棒由静止开始向右加速运动，求：
（1）导体棒的最大加速度和最大速度各是多少？
（2）导体棒达到最大加速度时，导体棒消耗的电功率P是多少？
（3）导体棒达到最大速度后，把单刀双掷开关掷向2，导体棒再运动时间t后静止，则导体棒减速运动的位移是多少？

Answer 1

分析：（1）当电键刚闭合时，导体棒的加速度最大，刚闭合时在水平方向上受安培力和阻力，根据牛顿第二定律求出最大加速度．当安培力与阻力相等时，速度最大，根据阻力和安培力相等，结合闭合电路欧姆定律求出最大速度．
（2）当加速度最大时，求出电路中的电流，从而求出导体棒消耗的电功率P．
（3）根据动量定理，合力的冲量等于动量的变化，求出导体棒减速运动的位移．

解答：解：（1）在刚闭合电键时加速度最大
根据牛顿第二定律有：

mam=F-f

F=B

E

R+r

L，
联立解得

am= BEL m(R+r) -μg

当安培力与摩擦力相等时速度最大有：

F′=f BIminL=μmg B E-BLvm R+r L=μmg

解得

vm= BLE-μmg(R+r) B2L2

（2）刚闭合电键时加速度最大，此时电路中的电流I=

E

R+r

则导体棒上消耗的功率P=I2R=

E2R

(R+r)2

（3）导体棒在减速运动的过程中安培力的冲量
I=BI1L△t1+BI2L△t2…=B

BLv1

2R

L△t1+B

BLv2

2R

L△t2??=

B2L2s

2R

根据动量定理有：

B2L2s 2R +μmgt=mvm

B2L2s 2R +μmgt=m BLE-μmg(R+r) B2L2 s=2mR BLE-μmg(R+r)-μgtB2L2 B4L4

答：（1）导体棒的最大加速度和最大速度各是

BEL m(R+r) -μg

、

BLE-μmg(R+r) B2L2

．
（2）导体棒达到最大加速度时，导体棒消耗的电功率P是

E2R

(R+r)2

．
（3）导体棒减速运动的位移是

s=2mR BLE-μmg(R+r)-μgtB2L2 B4L4

．

点评：解决本题的关键知道电键与电源相连时，初始时刻，导体棒速度为零，此时的电流最大，安培力最大，当导体棒所受阻力与安培力相等时，速度最大．以及会用微分的思想处理安培力冲量问题．