Question

5．假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g₀，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常数为G，则地球的密度为多少？

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力，则可列出物体在两极的表达式，再由引力与支持力的合力提供向心力，列式综合可求得地球的质量，最后由密度公式，即可求解．

解答 解：在两极，引力等于重力，可得地球质量M=$\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}$，
在赤道处，引力与支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律，则有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-mg=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R，
而密度公式ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，
联立得：ρ=$\frac{3π{g}_{0}}{G{T}^{2}（{g}_{0}-g）}$
答：平均密度为$\frac{3π{g}_{0}}{G{T}^{2}（{g}_{0}-g）}$

点评 考查万有引力定律，掌握牛顿第二定律的应用，注意地球两极与赤道的重力的区别，知道密度表达式．