Question

14．某兴趣小组设计了一种实验装置，其模型如图所示．中间部分为水平直轨道，左侧部分为倾斜轨道，与直轨道相切于A点，右侧部分为位于竖直平面内半径为R的半圆轨道，在最低点与直轨道相切于B点．实验时将质量为m的小球1在左侧倾斜轨道上某处静止释放，使其与静止在水平轨道上某处质量也为m的小球2发生无机械能损失的碰撞，碰后小球1停下，小球2向右运动，恰好能通过圆轨道的最高点，且落地时又恰好与小球1发生再次碰撞．不计空气阻力，轨道各处均光滑，小球可视为质点，重力加速度为g．
（1）求小球2第一次与小球1碰撞后的速度大小；
（2）开始时小球2应放于水平直轨道上何处位置？
（3）开始时小球1应距水平直轨道多高位置处释放？

Answer 1

分析 （1）小球2向右运动，恰好能通过圆轨道的最高点时由重力提供向心力，可求得球2通过最高点时的速度，由机械能守恒求解小球2第一次与小球1碰撞后的速度大小．
（2）球2离开轨道后做平抛运动，由平抛运动的规律求出其水平位移，即可求解．
（3）由于两球无机械能损失，可得到碰前球1的速度，对球1运用机械能守恒定律求解．

解答 解：（1）小球2恰好能通过圆轨道的最高点，则有 mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ ①
根据机械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+2mgR   ②
由①②可得 v₀=$\sqrt{5gR}$ ③
（2）球2离开轨道后做平抛运动，其水平位移为x，则有
  x=vt  ④
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$  ⑤
由①④⑤解得：x=2R
所以开始时小球2应放于水平直轨道上距B点2R处．
（3）由于两球无机械能损失，可得到碰前球1的速度大小为v₀=$\sqrt{5gR}$ ⑥
对于球1，有：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$  ⑦
解得 h=2.5R
答：
（1）小球2第一次与小球1碰撞后的速度大小为$\sqrt{5gR}$；
（2）开始时小球2应放于水平直轨道上距B点2R处．
（3）开始时小球1应距水平直轨道2.5R高位置处释放．

点评 本题是向心力、机械能守恒和平抛运动的综合，掌握小球通过最高点的临界条件是解题的关键．