Question

【题目】

雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。

（1）质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力所做的功W。

____

（2）将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f=kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系数。

a．设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式；

____

b．示意图中画出了半径为r1、r2（r1>r2）的雨滴在空气中无初速下落的v–t图线，其中_________对应半径为r1的雨滴（选填①、②）；若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无初速下落的v–t图线。

（__________）

（3）由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f ∝v2（提示：设单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为m0）。

________

Answer 1

【答案】 ① 详见解析

【解析】

(1)对雨滴由动能定理解得：雨滴下落h的过程中克服阻做的功；

(2) 雨滴的加速度为0时速度最大解答；

(3)由动量定理证明

(1)对雨滴由动能定理得：

解得：；

(2)a.半径为r的雨滴体积为：，其质量为

当雨滴的重力与阻力相等时速度最大，设最大速度为，则有：

其中

联立以上各式解得：

由可知，雨滴半径越大，最大速度越大，所以①对应半径为的雨滴，

不计空气阻力，雨滴做自由落体运动，图线如图：

；

(3)设在极短时间内，空气分子与雨滴碰撞，设空气分子的速率为U，

在内，空气分子个数为：，其质量为

设向下为正方向，对圆盘下方空气分子由动量定理有：

对圆盘上方空气分子由动量定理有：

圆盘受到的空气阻力为：

联立解得：。