Question

【题目】如图甲，单匝圆形线圈c与电路连接，电阻R2两端与平行光滑金属直导轨p1e1f1、p2e2f2连接．垂直于导轨平面向下、向上有矩形匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，它们的边界为e1e2 ， 区域Ⅰ中垂直导轨并紧靠e1e2平放一导体棒ab．两直导轨分别与同一竖直平面内的圆形光滑绝缘导轨o1、o2相切连接，o1、o2在切点f1、f2处开有小口可让ab进入，ab进入后小口立即闭合．
已知：o1、o2的直径和直导轨间距均为d，c的直径为2d；电阻R1、R2的阻值均为R，其余电阻不计；直导轨足够长且其平面与水平面夹角为60°，区域Ⅰ的磁感强度为B0 ． 重力加速度为g．在c中边长为d的正方形区域内存在垂直线圈平面向外的匀强磁场，磁感强度B随时间t变化如图乙所示，ab在t=0～ 内保持静止．

（1）求ab静止时通过它的电流大小和方向；
（2）求ab的质量m；
（3）设ab进入圆轨道后能达到离f1f2的最大高度为h，要使ab不脱离圆形轨道运动，求区域Ⅱ的磁感强度B2的取值范围并讨论h与B2的关系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由法拉第电磁感应定律得c内感生电动势 E=S =d2 ①

由全电路欧姆定律有 E=IR ②（R2被ab短路）

联立①②解得：I= = ③

根据楞次定律和右手螺旋定则（或者平衡条件和左手定则）判断知ab中电流方向为a→b ④

（2）

解：由题意可知导轨平面与水平面夹角为 θ=60°，

对在t=0～ 内静止的ab受力分析有 mgsinθ=B0Id ⑤

联立③⑤解得：m= = ⑥

（3）

解：由题意知t= 后，c内的磁感强度减为零，ab滑入区域Ⅱ，

由直导轨足够长可知ab进入圆形轨道时已达匀速直线运动，

设此时ab为v，其电动势为E2，电流为I2，

由平衡条件得 mgsinθ=B2I2d ⑦

由法拉第电磁感应定律得动生电动势 E2=B2dv ⑧

由全电路欧姆定律有 E2= ⑨（R1、R2并联）

联立⑥⑦⑧⑨解得 v= = ⑩

由题意可知ab滑不过圆心等高点或者滑过圆轨道最高点均符合题意，分类讨论如下：

（ⅰ）当 mg 即 B2≥ 时，

ab上滑过程由动能定理得 mgh= ，即h=

（ⅱ） 设ab能滑到圆轨道最高点时速度为v1，根据牛顿第二定律应满足 mg≤

所以当 ﹣mg （1+cosθ）≥ 即B2≤ 时，

ab能滑到圆轨道最高点，有 h= =

【解析】（1）ab静止时，由法拉第电磁感应定律求出c内感生电动势的大小，由欧姆定律求出电流的大小，由楞次定律判断电流的方向．（2）ab静止时受力平衡，重力沿导轨向下的分力与安培力二力平衡，由平衡条件列式可求ab的质量．（3）由题意知t= 后，c内的磁感强度减为零，ab滑入区域Ⅱ磁场，由于此段足够长，ab最终应做匀速直线运动，由平衡条件可求出其匀速运动的速度表达式．要使ab不脱离圆形轨道运动，有两种情况：ab滑不过圆心等高点或者滑过圆轨道最高，根据机械能守恒定律和圆周运动最高点的临界条件结合解答．