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如图所示,为三个质点,的质量远远大于的质量,的质量相等。已知之间,之间存在相互吸引力。之间存在相互排斥力,三个把质点在相互间引力或斥力的作用下运动,如果作用力合适,可以存在一种如下形式的运动:

A、的相对位置固定,它们构成一个平面,三个质点绕着位于这个平面内的某条轴匀速转动;因为质点的质量远远大于的质量,可认为该轴过质点且固定不动;连线与转轴的夹角与连线与转轴的夹角不相等,且

之间吸引力的大小之间吸引力的大小为,其中分别为之间的距离,为比例系数,不计重力的影响。试问的值在什么范围内,上述运动才能实现?

解法1:

表示质点的质点,表示连线与竖直方向的夹角,表示转动角速度,表示间排斥力的大小。根据牛顿定律有

,                           (1)

,                                             (2)

,                          (3)

。                                             (4)

由(1)、(3)两式并利用(2)、(4)两式可得

。                                       (5)

考虑到几何关系

                                                               (6)

并利用已知的表示式。可由(5)得到

                                                         (7)

又,由(2)、(4)式可得。                       (8)

带入已知的的表达式可得

。                                                          (9)

联立(7)、(9)从而有

。                               (10)

如果,则意味着方程

                                                   (11)

区间有两个不同的解,其中为某一合适的常数。这要求函数区间不能是单调函数,也就是说不能同时为单调增函数或单调减函数。因此当增大时,若增大,则应减小;反之,若减小,则应增大,故同号。因此有

                                                                           (12)

。                                                                        (13)

,可知时均为零,因此区间一定存在极值点,意味着方程(11)在合适选取的情况下必有两个或两个以上的不同解。对亦然。因此条件(12)、(13)是符合题意要求的充分必要条件。

评分标准:(1)~(4)式各1分,(6)式1分,(10)式6分,(12)、(13)式及其以下说明共4分。

解法2:

如图,设间的排斥力是,它们受到的吸引力分别是,向心力分别是,距离分别是;根据三角形的相似关系,有

,                                                               (1a)

。                                                        (2a)

以上两式相比可得

                                                        (3a)

依题意有

,                                                              (4a)

,                                                  (5a)

,                                                  (6a)

将(4a)~(6a)代入(3a)得

。                                       (7a)

由(7a)得

。                               (8a)

之后的讨论与“参考解答1”相同。

评分标准:考虑“参考解答1”。

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πm
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11
3
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