Question

(22分) 如图所示，水平放置的横截面积为S的带有活塞的圆筒形绝热容器中盛有1mol 的理想气体．其内能，C为已知常量，T为热力学温度．器壁和活塞之间不漏气且存在摩擦，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等且皆为F．图中r为电阻丝，通电时可对气体缓慢加热．起始时，气体压强与外界大气压强p₀相等，气体的温度为T₀．现开始对r通电，已知当活塞运动时克服摩擦力做功所产生热量的一半被容器中的气体吸收．若用Q表示气体从电阻丝吸收的热量，T表示气体的温度，试以T为纵坐标，Q为横坐标，画出在Q不断增加的过程中T和Q的关系图线．并在图中用题给的已知量及普适气体常量R标出反映图线特征的各量（不要求写出推导过程）．

Answer 1

答案如图所示．

附计算过程：

       电阻通电后对气体缓慢加热，气体的温度升高，压强增大，活塞开始有向外运动的趋势，但在气体对活塞的作用力尚未达到外界大气对活塞的作用力和器壁对活塞的最大静摩擦之和以前，活塞不动，即该过程为等容过程．因气体对外不做功，根据热力学第一定律可知，在气体温度从T₀升高到T的过程中，气体从电阻丝吸收的热量， 

       (1)

此过程将持续到气体对活塞的作用力等于外界大气对活塞的作用力和器壁对活塞的最大静摩擦之和．若用T₁表示此过程达到末态的温度，p表示末态的压强，Q₁表示此过程中气体从电阻丝吸收的热量，由等容过程方程有

       (2)

由力的平衡可知

       (3)

由（2）、（3）两式可得

        (4)

代入(1)式得

         (5)

由以上讨论可知，当时，T与Q的关系为

                         (6)

在图中为一直线如图中所示，其斜率

           (7)

直线在T轴上的截距等于T₀，直线ab的终点b的坐标为（T₁，Q₁）．

当电阻丝继续加热，活塞开始向外运动以后，因为过程是缓慢的，外界大气压及摩擦力皆不变，所以气体的压强不变，仍是p，气体经历的过程为等压过程．在气体的体积从初始体积V₀增大到V，温度由T₁升高到T的过程中，设气体从电阻丝吸收的热量为，活塞运动过程中与器壁摩擦生热的一半热量为q，由热力学第一定律可知

       (8)

q可由摩擦力做功求得，即

       (9)

代入（8）式得

       (10)

由状态方程式可知

                            (11)

将（11）式和（4）式代入（10）式，得

即

       （12）

从开始对气体加热到气体温度升高到T( >T₁)的过程中，气体从电阻丝吸收的总热量

       （13）

把（13）式代入到（12）式，并注意到（4）式和（5），得

（14）

由此可知，当时，T与Q的关系仍为一直线，此直线起点的坐标为，；斜率为

       （15）

       在图中，就是直线bd，当热量Q从零开始逐渐增大，气体温度T 将从起始温度T₀沿着斜率为K_ab的直线上升到温度为T₁的b点，然后沿着斜率为K_bd的直线上升，如图所示．