Question

1．图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧．投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上端放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去．设质量为m的鱼饵到达管口C时，对管壁的作用力恰好为零．不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能．已知重力加速度为g．求：
（1）质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v₁；
（2）弹簧压缩到0.5R时的弹性势能E_p；
（3）已知地面与水面相距1.5R，若使该投饵管绕AB管的中轴线OO′在90°角的范围内来回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在$\frac{2}{3}$m到m之间变化，且均能落到水面．持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S是多少？

Answer 1

分析 （1）鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力完全由重力提供，有牛顿第二定律列出向心力的方程，速度可求．
（2）不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，所以鱼饵增加的机械能都是弹簧做功的结果，由功能关系知道弹簧具有的弹性势能等于鱼饵增加的机械能．
（3）分别求出质量是m和$\frac{2}{3}m$的鱼饵离开C时的速度，再利用平抛运动规律求出落到水平面到转轴之间的距离，转轴转过90°时，鱼饵在水平面形成两个$\frac{1}{4}$圆面积，中间夹的环形面积即为所求．

解答 解：（1）质量为m的鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力，完全由重力提供，
则$mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$…①
由①式解得：v₁=$\sqrt{gR}$…②
（2）从弹簧释放到最高点C的过程中，弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能，由系统的机械能守恒定律有
${E}_{p}=mg（1.5R+R）+\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$…③
由②③式解得：E_p=3mgR…④
（3）不考虑因缓慢转动装置对鱼饵速度大小的影响，质量为m的鱼饵离开管口C后做平抛运动，
设经过t时间落到水面上，离OO'的水平距离为x₁，由平抛运动规律有：
$4.5R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$…⑤
x₁=v₁t+R…⑥
由⑤⑥式解得：x₁=4R…⑦
当鱼饵的质量为$\frac{2}{3}m$时，设其到达管口C时速度大小为v₂，由机械能守恒定律得：
${E}_{p}=mg（1.5R+R）+\frac{1}{2}（\frac{2}{3}m）{v}_{2}^{2}$…⑧
由④⑧式解得：v₂=$2\sqrt{gR}$…⑨
质量为$\frac{2}{3}m$的鱼饵落到水面上时，设离OO'的水平距离为x₂，则
x₂=v₂t+R…⑩
由⑤⑨⑩式解得：x₂=7R
鱼饵能够落到水面的最大面积S=$\frac{1}{4}π（{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}）$=$\frac{33}{4}π{R}^{2}$
答：（1）鱼饵到达管口C时的速度大小为$\sqrt{gR}$；
（2）弹簧压缩到0.5R时的弹性势能Ep=3mgR；
（3）鱼饵能够落到水面的最大面积为$\frac{33}{4}π{R}^{2}$．

点评 本题考查了圆周运动最高点的动力学方程和平抛运动规律，转轴转过90°鱼饵在水平面上形成圆周是解决问题的关键，这是一道比较困难的好题．