Question

如图a所示，为一组间距d足够大的平行金属板，板间加有随时间变化的电压（如图b所示），设U₀和T已知．A板上O处有一静止的带电粒子，其带电量为q，质量为m（不计重力），在t=0时刻起该带电粒子受板间电场加速向B板运动，途中由于电场反向，粒子又向A板返回（粒子未曾与B板相碰）．
（1）当U_x=2U₀时求带电粒子在t=T时刻的动能；
（2）为使带电粒子在0～T时间内能回到O点，U_x要大于多少？

Answer 1

（1）粒子在前半个周期内加速度为：a1=

U0q

dm

，在后半个周期内加速度为：a2=

2U0q

dm

，
t=

T

2

时刻粒子的速度为：v1=a1

T

2

，将后半个周期内的运动看成一种有往复有匀减速运动，则有：
  v2=v1-a2

T

2

=a1

T

2

-a2

T

2

=-

TU0q

2dm

，
  Ek=

1

2

m

v

22

=

T2 U 20 q2

8d2m

（2）粒子在前半个周期内位移为：s1=

1

2

a1(

T

2

)2，在后半个周期内位移为：
sx=v1

T

2

-

1

2

ax(

T

2

)2，v1=a1

T

2

，
为使带电粒子在0～T时间内能回到O点，则有：s₁=-s_x，
联立上面各式，得：a_x=3a₁，
因为：a1=

U0q

dm

，ax=

Uxq

dm

，所以：U_x=3U₀．
答：（1）当U_x=2U₀时求带电粒子在t=T时刻的动能为

T2 U 20 q2

8d2m

；
（2）为使带电粒子在0～T时间内能回到O点，U_x要大于3U₀．