Question

如图所示，半径为r₁的圆形区域内有匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B₀、方向垂直纸面向里，半径为r₂的金属圆环右侧开口处与右侧电路相连，已知圆环电阻为R，电阻R₁=R₂=R₃=R，电容器的电容为C，圆环圆心O与磁场圆心重合．一金属棒MN与金属环接触良好，不计棒与导线的电阻，电键S₁处于闭合状态、电键S₂处于断开状态．
（1）若棒MN以速度v₀沿环向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径的瞬间产生的电动势和流过R₁的电流．
（2）撤去棒MN后，闭合电键S₂，调节磁场，使磁感应强度B的变化率△B/△t=k，k为常数，求电路稳定时电阻R₃在t₀时间内产生的焦耳热；
（3）在（2）问情形下，求断开电键S₁后流过电阻R₂的电量．

Answer 1

分析：（1）根据棒切割磁感线，从而产生感应电动势，并由欧姆定律，即可求解；
（2）由法拉第电磁感应定律求出线圈中产生的感应电动势，由欧姆定律求出感应电流的大小，由楞次定律判断出感应电流的方向．由公式q=It求出通过电阻R₁上的电量q，由焦耳定律求出电阻R₁上产生的热量．
（3）断开电键S₁前后电容器两极板上的电压发生变化，电容器上电量的变化对于流过电阻R₁和R₂的电量的和．

解答：解：（1）由法拉第电磁感应定律，则有：ε=2B₀r₁v₀，
MN右侧的电路中，圆环部分的电阻是圆环电阻为R的一半（

R

2

），R₁与R₂并联的电阻是

R

2

，所以MN右侧的总电阻是：

R

2

+

R

2

+R=2R．
应用导体棒的电阻不计，所以电路的路端电压等于电源的电动势．根据欧姆定律，解得：I=

E

2R

=

B0r1v0

2R

，
由于R₁与R₂相等，所以流过R₁上的电流：I1=

1

2

I=

B0r1v0

4R

（2）由题意可知，0至t时间内 由法拉第电磁感应定律有E′=

△

△t

=

△B

△t

S=k?π

r

2 1

由闭合电路欧姆定律有I′=

E′

R+ R 2 +R

=

2kπ r 2 1

5R

电阻R₃在t₀时间内产生的焦耳热：Q=I′2R?t0=

4k2π2 r 4 1 t0

25R

（3）S₁闭合时，电容器两端的电压等于R₃两端的电压，
U3=I′?R=

2kπ r 2 1

5

S₁断开后，电容器两端的电压等于电源的电动势E′，
电容器上电量的改变为：△Q=C?△U=C(E′-U3)=

3kπC r 2 1

5R

由于R₁与R₂相等，所以两个两个电阻上的电量相等，流过R₁上的电量：q=

Q

2

=

3kπC r 2 1

10R

．
答：（1）棒滑过圆环直径的瞬间产生的电动势2B₀r₁v₀，流过R₁的电流I1=

B0r1v0

4R

．
（2）电路稳定时电阻R₃在t₀时间内产生的焦耳热Q=

4k2π2 r 4 1 t0

25R

；
（3）在（2）问情形下，求断开电键S₁后流过电阻R₂的电量q=

3kπC r 2 1

10R

．

点评：本题是法拉第电磁感应定律、欧姆定律、焦耳定律的综合应用，应用法拉第定律时要注意s是有效面积，并不等于线圈的面积．