Question

18．如图所示，在无限长的竖直边界AC和DE间，上、下部分分别充满方向垂直于ADEC平面向外的匀强磁场，上部分区域的磁感应强度大小为B₀，OF为上、下磁场的水平分界线．质量为m、带电荷量为+q的粒子从AC边界上与O点相距为a的P点垂直于AC边界射入上方区域，经OF上的Q点第一次进入下方区域，Q与O点的距离为3a．不考虑粒子重力
（1）求粒子射入时的速度大小；
（2）要使粒子不从AC边界飞出，求下方区域的磁感应强度应满足的条件；
（3）若下方区域的磁感应强度B=3B₀，粒子最终垂直DE边界飞出，求边界DE与AC 间距离的可能值．

Answer 1

分析 （1）由几何关系确定粒子半径，再由洛仑兹力充当向心力可求得速度；
（2）根据临界条件可求出粒子的半径，再由洛仑兹力充当向心力可求得磁感应强的范围；
（3）根据几何关系确定粒子可能的轨迹，再由几何关系确定距离的可能值．

解答 解：（1）设粒子在OF上方做圆周运动半径为R，由几何关系可知；
R²-（R-a）²=（3a）²
R=5a
由牛顿第二定律可知：qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\frac{5aq{B}_{0}}{m}$；
（2）当粒子恰好不从AC边界飞出时，设粒子在OF下方做圆周运动的半径为r₁，由几何关系得：
r₁+r₁cosθ=3a
cosθ=$\frac{3}{5}$
所以r₁=$\frac{15a}{8}$
根据qvB₁=$\frac{m{v}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$
解得：B₁=$\frac{8{B}_{0}}{3}$
当B₁＞$\frac{8{B}_{0}}{3}$时，粒子不会从AC边界飞出．
（3）当B=3B₀时，粒子在OF下方的运动半径为：r=$\frac{5}{3}$a
设粒子的速度方向再次与射入磁场时的速度方向一致时的位置为P₁，则P与P1的连线一定与OF平行，根据几何关系知：
PP₁=3a+（3a-2rcosθ）
解得：$\overline{P{P}_{1}}$=4a；
所以若粒子最终垂直DE边界飞出，边界DE与AC间的距离为：L=n$\overline{P{P}_{1}}$=4na（n=1，2，3…）；
答：（1）粒子射入时的速度大小为$\frac{5aq{B}_{0}}{m}$；
（2）B₁＞$\frac{8{B}_{0}}{3}$时，粒子不会从AC边界飞出；
（3）若下方区域的磁感应强度B=3B₀，粒子最终垂直DE边界飞出，边界DE与AC间的距离为4na（n=1，2，3…）；

点评 带电粒子在磁场中运动，关键在于分析粒子的运动情况，明确粒子可能运动轨迹，根据几何关系确定圆心和半径；同时注意临界条件的应用才能顺利求解．