(1)弹簧从水平摆至竖直位置的过程中,其弹力做功为多少?
(2)请通过计算并比较相关物理量,判断小球P、N碰撞后能否在某一时刻具有相同的速度。
(3)若题中各量为变量,在保证小球P、N碰撞后某一时刻具有相同速度的前提下,请推导出r的表达式(要求用B、q、m、θ表示,其中θ为小球N的运动速度与水平方向的夹角)。
分析:带电物体在复合场中的运动,动量守恒定律的应用,功能关系,圆周运动。
解:(1)设弹簧的弹力做功为W,有:
①
代入数据,得:W=-2.05 J。②
说明:①②式各2分。
(2)由题给条件知,N碰后做平抛运动,P所受电场力和重力平衡,P带正电荷。设P、N碰后的速度大小分别为v1和V,并令水平向右为正方向,有:mv=±mv1+MV③
而:④
若P、N碰后速度同向时,计算可得V<v1,这种碰撞不能实现。P、N碰后瞬时必为反向运动。有:⑤
P、N速度相同时,N经过的时间为tn,P经过的时间为t下标P。设此时N的速度V1的方向与水平方向的夹角为θ,有:⑥
gtn=V1sinθ=v1sinθ⑦
代入数据,得:⑧
对小球P,其圆周运动的周期为T,有:⑨
经计算得:tN<T
P经过tP时,对应的圆心角为α,有:⑩
当B的方向垂直纸面朝外时,P、N的速度相同,如图可知,有:α1=π+θ
联立相关方程得
比较得,tN≠tP1,在此情况下,P、N的速度在同一时刻不可能相同。
当B的方向垂直纸面朝里时,P、N的速度相同,同样由图,有:α2=π-θ
同上得:
比较得,tn≠tP2,在此情况下,P、N的速度在同一时刻也不可能相同。
说明:③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式各1分。
(3)当B的方向垂直纸面朝外时,设在t时刻P、N的速度相同,tN=tP=t,
再联立④⑦⑨⑩解得:
考虑圆周运动的周期性,有:(n=0,1,2,…)
当B的方向垂直纸面朝里时,设在t时刻P、N的速度相同,tN=tP=t,
同理得:
考虑圆周运动的周期性,有:(n=0,1,2,…)。
(给定的B、q、r、m、θ等物理量决定n的取值)
说明:式各1分。
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