Question

15．如图所示，两根光滑水平导轨与一个倾角为α的金属框架abcd连接（连接处呈圆弧形）．匀强磁场仅分布于框架所在斜面，磁感应强度B跟框架面垂直．框架边ab、cd长均为L，电阻均为2R，框架其余部分电阻不计．有一根质量为m、电阻为R的金属棒MN平行于ab放置，让它以初速v₀冲上框架，在到达最高点的过程中，框架边ab发出的热量为Q．试求：
（1）金属棒MN受到的最大安培力的大小和方向；
（2）金属棒MN上升的最大高度；
（3）金属棒MN刚冲上框架时ab部分的发热功率．

Answer 1

分析 （1）金属棒MN冲上导轨后在安培力作用下做减速运动，刚冲上导轨时速度最大，安培力最大，由法拉第定律、欧姆定律和安培力公式结合求解．
（2）根据电路的结构求出整个电路产生的总热量，再根据能量守恒定律求最大高度．
（3）根据法拉第定律、欧姆定律和电路的连接关系求出通过ab的电流，从而求出ab的发热功率．

解答 解：（1）金属棒MN刚冲上导轨时速度最大，安培力最大．
此时电路中总电阻为 R_总=$\frac{2R•2R}{2R+2R}$+R=2R
最大安培力 F_A=BIL=B$\frac{BL{v}_{0}}{{R}_{总}}$L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{2R}$
由楞次定律知，MN棒受到的安培力方向沿导轨向下．
（2）设ab棒中电流为I．
ab中产生的热量  Q_ab=Q=I²•2R
整个电路中产生的总热量 Q_总=2Q_ab+Q_R=2Q+（2I）²R=4Q
根据能量守恒定律得：
  mgh+4Q=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得  h=$\frac{m{v}_{0}^{2}-8Q}{2mg}$
（3）金属棒MN刚冲上框架时产生的感应电动势 E=BLv₀；
MN棒中感应电流 I=$\frac{E}{{R}_{总}}$=$\frac{BL{v}_{0}}{2R}$
ab部分的发热功率 P_ab=${（\frac{I}{2}）^2}{R_{ab}}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}^{2}}{8R}$
答：
（1）金属棒MN受到的最大安培力的大小是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{2R}$，方向沿导轨向下；
（2）金属棒MN上升的最大高度是$\frac{m{v}_{0}^{2}-8Q}{2mg}$；
（3）金属棒MN刚冲上框架时ab部分的发热功率是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}^{2}}{8R}$．

点评 对于复杂的电磁感应问题，往往是电磁感应、磁场、电路和力学知识的综合应用，要理清电路的连接方式，分辨清楚哪部分电路是电源，哪部分是外电路，能熟练推导安培力与速度的关系．同时，要正确分析能量是如何转化，搞清各个部分电路功率的关系，要有解决复杂综合题的能力．