Question

9．如图所示，光滑半圆形轨道处于竖直平面内，半圆形轨道与光滑的水平地面相切于半圆的端点A，已知轨道半径为R，一质量为m的小球在水平地面上C点受水平向左大小为F=$\frac{3}{4}$mg的恒力由静止开始运动，当运动到A点时撤去恒力F，小球沿竖直半圆形轨道运动到轨道最高点B点，重力加速度为g．
（1）若小球恰能运动到轨道最高点B，求A、C间的距离L；
（2）若小球运动到A点时未撤去恒力F，当A、C间的距离L=5R时，求小球沿竖直半圆形轨道运动中的最大动能E_km及此时对轨道的压力．

Answer 1

分析 （1）对小球在B点应用牛顿第二定律求得速度，然后对整个运动过程应用动能定理即可求解；
（2）根据动能定理求得动能表达式，然后求解最大动能及其位置，再对小球在该点径向方向应用牛顿第二定律求得支持力，然后由牛顿第三定律求得压力．

解答 解：（1）若小球恰能运动到轨道最高点B，那么对小球在B点应用牛顿第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
又有小球运动过程只有F和重力做功，故由动能定理可得：$FL-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}mgR$，所以，$L=\frac{\frac{1}{2}mgR+2mgR}{\frac{3}{4}mg}=\frac{10}{3}R$；
（2）小球运动过程只有F和重力做功，那么由动能定理可知：在同一水平位置，F做功不变；高度越低，克服重力做的功越少，动能越大；故动能最大处必在圆心下方的$\frac{1}{4}$圆弧上；
设动能最大处的半径与竖直方向夹角为θ，那么，由动能定理可得：E_km=F（L+Rsinθ）-mgR（1-cosθ）=$mgR（\frac{15}{4}+\frac{3}{4}sinθ-1+cosθ）$=$mgR[\frac{11}{4}+\frac{5}{4}sin（θ+53°）]$；
当θ=37°时，动能最大，E_km=4mgR；那么，小球动能最大时的速度${v}_{m}=\sqrt{\frac{2{E}_{km}}{m}}=\sqrt{8gR}$；
对小球在径向方向应用牛顿第二定律可得：${F}_{N}-mgcos37°-Fsin37°=\frac{m{{v}_{m}}^{2}}{R}=8mg$，
所以，小球受到轨道的支持力${F}_{N}=8mg+mgcos37°+\frac{3}{4}mgsin37°=9.25mg$，方向沿径向方向，即与竖直方向成37°，斜向右上方；
那么，由牛顿第三定律可得：小球对轨道的压力为9.25mg，方向与竖直方向成37°，斜向左下方；
答：（1）若小球恰能运动到轨道最高点B，则A、C间的距离L为$\frac{10}{3}R$；
（2）若小球运动到A点时未撤去恒力F，当A、C间的距离L=5R时，那么小球沿竖直半圆形轨道运动中的最大动能E_km为4mgR；此时对轨道的压力为9.25mg，方向与竖直方向成37°，斜向左下方．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．