Question

12．如图所示，间距为l的光滑平行金属导轨与水平面夹角θ=30°，导轨电阻不计，正方形区域abcd内匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直导轨向上．甲、乙两金属杆电阻相同、质量均为m，垂直于导轨放置．起初甲金属杆处在磁场的上边界ab上，乙在甲上方距甲也为l处．现将两金属杆同时由静止释放，释放的同时在甲金属杆上施加一个沿着导轨的拉力，使甲金属杆始终以大小为a=$\frac{1}{2}$g的加速度压导轨向下匀加速运动，已知乙金属杆刚进入磁场时做匀速运动，重力加速度为g，则以下说法正确的是（　　）

• A． 每根金属杆的电阻R=$\frac{2{B}^{2}{l}^{2}\sqrt{gl}}{mg}$
• B． 甲金属杆在磁场区域运动过程中，拉力对杆做的功在数值上等于电路中产生的焦耳热
• C． 乙金属杆在磁场区域运动过程中，安培力的功率是P=mg$\sqrt{gl}$
• D． 乙金属杆进入磁场直至出磁场过程中回路中通过的电荷量为q=$\frac{m}{2B}$$\sqrt{\frac{g}{l}}$

Answer 1

分析 乙金属杆进入磁场前，沿斜面向下的加速度跟甲的加速度相同，甲乙均做匀加速运动；由运动学公式求出乙进入磁场时的速度，乙金属杆刚进入磁场时做匀速运动，根据平衡条件和安培力公式求解R；根据动能定理对两棒分别列式，研究拉力做功与克服安培力做功的关系，即可分析与电路中产生的焦耳热的关系．
乙金属杆在磁场中匀速运动过程中，安培力的功率等于电路中电阻的热功率．根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式求解通过回路的电量．

解答 解：A、乙金属杆进入磁场前的加速度为a=gsin30°=$\frac{1}{2}$g，可见其加速度与甲的加速度相同，甲、乙两棒均做匀加速运动，运动情况完全相同．所以当乙进入磁场时，甲刚出磁场．
乙进入磁场时：v=$\sqrt{2al}$=$\sqrt{2×\frac{1}{2}×gl}$=$\sqrt{gl}$，由于乙金属杆刚进入磁场时做匀速运动，受力平衡有：
mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{2R}$，
解得：R=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{mg}$=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}\sqrt{gl}}{mg}$，故A错误．
B、甲金属杆在磁场区域运动过程中，根据动能定理得：
W_F-W_安+mglsinθ=$\frac{1}{2}$mv²；
对于乙棒，由动能定理得：
mglsinθ=$\frac{1}{2}$mv²；
由两式对比可得：W_F=W_安；即外力做功等于甲棒克服安培力做功，而甲棒克服安培力做功等于电路中产生的焦耳热，故拉力对杆做的功在数值上等于电路中产生的焦耳热．故B正确．
C、乙金属杆在磁场区域中匀速运动，安培力的功率大小重力的功率，为：P=mgsinθ•v=$\frac{1}{2}mg\sqrt{gl}$，故C错误．
D、乙金属杆进入磁场直至出磁场过程中回路中通过的电量为：q=It=$\frac{Blv}{2R}•\frac{l}{v}$=$\frac{B{l}^{2}}{2R}$，由此可知：R=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}\sqrt{gl}}{mg}$，联立解得回路中通过的电荷量为：q=$\frac{m}{2B}$$\sqrt{\frac{g}{l}}$，故D正确．
故选：BD．

点评 电磁感应中导体切割引起的感应电动势在考试中涉及较多，关键要正确分析导体棒受力情况，运用平衡条件、功能关系进行求解．