Question

在水平地面上方的真空室内存在着无限大的匀强电场和匀强磁场共同存在的区域，且电场与磁场的方向相同，在距离水平地面的某一高度处，有一个带电量为q、质量为m的带负电的质点，以垂直与电场方向的水平初速度v₀进入该真空室内，当磁感应强度的大小为B时，为保证带电质点进入真空室后做直线运动，重力加速度为g．求：
（1）求电场强度E的大小和方向应满足的条件．
（2）若带电质点在运动到空中某一M点时立即撤去电场，此后向下运动到空中P点，空中M、N两点间的竖直高度为H，求经过空中P点时的速率v_p．
（3）若带电质点在运动到空中某一M点时立即撤去磁场，此后经时间t运动到空中N点，求空中M、N两点间的竖直高度H及经过空中N点时的速率v_N．

Answer 1

分析：（1）由于洛伦兹力大小与速度成正比，要使质点进入真空室后做直线运动，质点的受力必须平衡做匀速直线运动，根据平衡条件，依据几何关系可求出电场强度大小及其方向；
（2）撤去电场后，只有重力对质点做功，其机械能守恒，由机械能守恒定律列式求速率v_p．
（3）当撤去磁场后，带电质点只受电场力和重力作用，在这个过程中电场力不做功，由机械能守恒定律可求出M、N两点间的竖直高度H；由质点做类平抛运动将其速度分解
进行求解．

解答：解：（1）要使质点进入真空室后做直线运动，质点的受力必须平衡而做匀速直线运动，其受力如图
由于带电质点做匀速直线运动，由平衡条件和几何关系可知
（qv0B）2+（qE）2=（mg）2
解得 E=

(mg)2-(qv0B)2

q

电场E的方向为沿与重力方向夹角θ=arcsin

qv0B

mg

，且斜向下的一切方向
（2）撤去电场后，只有重力对质点做功，其机械能守恒，则有
  

1

2

m

v

2 0

+mgH=

1

2

m

v

2 P

解得，v_p=

v 2 0 +2gH

（3）当撤去磁场后，带电质点只受电场力和重力作用，这两个力的合力大小为qv₀B，方向既垂直初速度v₀的方向也垂直电场E的方向，带电质点做类平抛运动，则
  加速度大小为a=

qv0B

m

  H=

1

2

at2?sinθ=

qv0B

2m

t2?

qv0B

m

整理得H=

q2v02B2t2

2m2g

因电场力在这个过程中不做功，则由机械能守恒定律得

1

2

m

v

2 N

=mgH+

1

2

m

v

2 0

联立以上两式得
  v_N=

v 2 0 + B2q2 v 2 0 t2 m2

答：
（1）电场强度E的大小和方向应满足的条件分别是E=

(mg)2-(qv0B)2

q

，的方向为沿与重力方向夹角θ=arcsin

qv0B

mg

，且斜向下的一切方向
（2）经过空中P点时的速率v_p为

v 2 0 +2gH

．
（3）空中M、N两点间的竖直高度H是

q v 2 0 B2t2

2m2g

，经过空中N点时的速率v_N是

v 2 0 + B2q2 v 2 0 t2 m2

．

点评：本题中带电质点匀速直线运动时，由洛伦兹力、电场力与重力相平衡，结合几何关系来综合求解；撤去电场或磁场时，分析受力情况，根据机械能守恒及类平抛运动规律来求解．