Question

如图(a)，小球甲固定于水平气垫导轨的左端，质量m＝0.4 kg的小球乙可在导轨上无摩擦地滑动，甲、乙两球之间因受到相互作用而具有一定的势能，相互作用力沿二者连线且随间距的变化而变化．现已测出势能随位置x的变化规律如图(b)中的实线所示．已知曲线最低点的横坐标x₀＝20 cm，虚线①为势能变化曲线的渐近线，虚线②为经过曲线上某点的切线．

(1)将小球乙从x₁＝8 cm处由静止释放，小球乙所能达到的最大速度为多大？

(2)假定导轨右侧足够长，将小球乙在导轨上从何处由静止释放，小球乙不可能第二次经过x₀＝20 cm的位置？并写出必要的推断说明；

(3)若将导轨右端抬高，使其与水平面的夹角α＝30°，如图(c)所示．将球乙从x₂＝6 cm处由静止释放，小球乙运动到何处时速度最大？并求其最大速度；

(4)在图(b)上画出第(3)问中小球乙的动能E_k与位置x的关系图线．

Answer 1

答案：
解析：

(1)球乙运动到x0＝20 cm位置时势能最少，速度最大， 　　能量守恒：，(1分) 　　解出 m/s＝1 m/s(1分) 　　(2)在0＜x＜6 cm区间内将小球乙由静止释放，不可能第二次经过x0．(1分) 　　原因：在0＜x＜20 cm区间内两球之间作用力为排斥力，在20 cm ＜x＜∞区间内两球之间作用力为吸引力，无穷远处和6 cm处的势能均为0.28 J．若小球乙的静止释放点在6 cm ＜x＜∞区间，小球乙将做往复运动，多次经过x0＝20 cm的位置．而静止释放点在0＜x＜6 cm区间内时，初态势能大于0.28 J，小球乙将会运动到无穷远处而无法返回，只能经过x0位置一次．(2分) 　　(3)x3＝12 cm处的切线斜率J/m＝2 J/m ， 　　表明此处乙球受到甲球2 N的排斥力，(1分) 　　乙球此处受到重力的分力mgsinα＝…＝2 N 　　所以，乙球在x3＝12 cm处时，所受合外力等于零，速度最大，(1分) 　　从图中读出x3＝12 cm处的势能Ep3＝0.1 J，x2＝6 cm处的势能Ep2＝0.28 J，(1分) 　　能量守恒：，(1分) 　　解出＝＝……＝m/s ＝0.55 m/s(1分) 　　(4)作图要求： 　　三个关键点的位置正确： 　　x2＝6 cm处的动能Ek＝0；(1分) 　　x3＝12 cm处的动能Ek＝0.06 J；(1分) 　　x4＝20 cm处的动能Ek＝0(1分) 　　曲线要求平滑，斜率变化正确．(1分)