Question

8．假设火星可视为质量均匀分布的球体，已知“火卫一”（火星的卫星）绕火星做圆周运动的半径为R，周期为T，火星的半径为R₀，自转周期为T₀，则火星表面的重力加速度在赤道处大小与两极处大小的比值为（　　）

• A． $\frac{{R}^{3}{T}_{0}^{2}}{{R}_{0}^{3}{T}^{2}}$
• B． $\frac{{R}_{0}^{3}{T}^{2}}{{R}^{3}{T}_{0}^{2}}$
• C． 1-$\frac{{R}^{3}{T}_{0}^{2}}{{R}_{0}^{3}{T}^{2}}$
• D． 1-$\frac{{R}_{0}^{3}{T}^{2}}{{R}^{3}{T}_{0}^{2}}$

Answer 1

分析 在赤道上，万有引力一个分力等于重力，另一个分力提供向心力，在两极，万有引力等于重力．结合火卫一的轨道半径和周期求出火星的质量，根据万有引力和重力的关系求出重力加速度的比值．

解答 解：在赤道上的物体，有：$G\frac{Mm}{{{R}_{0}}^{2}}=m{g}_{1}+m{R}_{0}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{0}}^{2}}$，
在两极，有：$G\frac{Mm}{{{R}_{0}}^{2}}=m{g}_{2}$
联立两式$\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}=1-\frac{4{π}^{2}{{R}_{0}}^{3}}{{{T}_{0}}^{2}GM}$，
根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，解得GM=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}}$，
代入可得$\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}$=1-$\frac{{R}_{0}^{3}{T}^{2}}{{R}^{3}{T}_{0}^{2}}$．
故选：D．

点评 解决本题的关键知道万有引力与重力的关系，知道赤道上万有引力等于重力和向心力之和，两极万有引力等于重力．