Question

11．如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接在阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下．导轨和金属杆的电阻可忽略．让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦．

（1）由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图；
（2）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小；
（3）求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值．
（4）若在ab杆由静止下滑到最大速度的过程中，R上产生的热量为Q，ab杆下滑的高度是多少？

Answer 1

分析 （1）ab杆受重力、支持力和安培力三个力作用．
（2）根据切割产生的感应电动势公式求出电动势的大小，结合闭合电路欧姆定律求出电流的大小，从而得出安培力，根据牛顿第二定律求出加速度．
（3）当ab杆的加速度为零时，速度最大，结合平衡得出最大速度．
（4）根据能量守恒求出ab杆下滑的高度．

解答 解：（1）ab杆的受力如图所示．
（2）感应电动势E=BLv，则感应电流I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BLv}{R}$．
安培力${F}_{A}=BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，
根据牛顿第二定律得，加速度a=$\frac{mgsinθ-{F}_{A}}{m}$=$gsinθ-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$．
（3）当加速度为零时，速度最大，有：$gsinθ-\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{mR}=0$，
解得最大速度v_m=$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（4）根据能量守恒得，mgh=$\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}+Q$，
解得h=$\frac{\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}{L}^{4}}+Q}{mg}$．
答：（1）受力如图所示．
（2）此时ab杆中的电流为$\frac{BLv}{R}$，加速度的大小为$gsinθ-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$．
（3）ab杆可以达到的速度最大值为$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（4）ab杆下滑的高度是$\frac{\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}{L}^{4}}+Q}{mg}$．

点评 本题考查了电磁感应定律、欧姆定律、能量守恒定律的直接应用，涉及到电动势、安培力等的计算，难度适中．