Question

我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，大约用十年的时间完成，这极大地提高了同学们对月球的关注，以下是某位同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你回答：
（1）若已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运行的周期为T，且把月球绕地球的运行近似看作是匀速圆周运动．试求出月球绕地球运行的轨道半径．
（2）若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球某水平表面上方h高处以速度v₀水平抛出一个小球，小球落回月球表面时与抛出点间的水平距离为s，已知月球的半径为R_月，引力常量为G，试求月球的质量M_月．

Answer 1

（1）设地球的质量为M，月球的轨道半径为r，则：
G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r…①
在地球表面有：
m′g=G

Mm′

R2

…②
由①②式得：
r=

3	gR2T2 4π2

…③
故月球绕地球运行的轨道半径为

3	gR2T2 4π2

．
（2）设月球表面的重力加速度为g_月，由平抛运动规律得：
h=

1

2

g月t2…④
s=v₀t…⑤
由④⑤式得：
g月=

2v02h

s2

…⑥
在月球表面有：
m′g月=G

M月m′

R2  月

…⑦
由⑥⑦式得：
M月=

2v02hR月2

Gs2

…⑧
故月球的质量为

2v02hR月2

Gs2

．