Question

11．如图所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变．当θ=30°时，可视为质点的小木块恰好能沿着木板匀速下滑．若让该小木块从木板的底端以v₀=10m/s的速度沿木板向上运动，随着θ的改变，小木块沿木板向上滑行的距离s将发生变化．取g=10m/s²．

（1）求小木块与木板间的动摩擦因数μ．
（2）当θ为多少时，小木块沿木板向上滑行的距离最小？请求出此最小值s_min．

Answer 1

分析 （1）θ=30°时，小木块恰好能沿着木板匀速下滑，根据平衡条件和摩擦力公式列方程，可求出摩擦因数；
（2）根据牛顿第二定律得出速度的表达式，然后根据位移公式得到上滑距离S的表达式，结合数学知识求S的极值．

解答 解：（1）当θ=30°时，可视为质点的小木块恰好能沿着木板匀速下滑，$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}=\frac{100}{2×（10sinα+\frac{\sqrt{3}}{3}×10×cosα）}$
根据共点力平衡得，mgsin30°=μmgcos30°，
解得$μ=tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）小木块上的加速度a=$\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}=gsinθ+μgcosθ$，
则上滑的距离s=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g（sinθ+μcosθ）}$=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g\sqrt{1+{μ}^{2}}sin（θ+φ）}$，式中tanφ=μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，φ=30°
当θ+φ=90°时，S最小，此时有：θ=60°．
则最小值${s}_{min}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g\sqrt{1+{μ}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{4g}$．
答：（1）小木块与木板间的动摩擦因数为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）当θ=60°时，小物块沿木板上滑的距离最小，此最小值为$\frac{\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{4g}$．

点评 本题第二问中求加速度和位移是物理学中的常规问题，关键是由数学三角函数知识求极值，要重视数学方法在物理中的应用．