Question

10．将比荷不同的离子分开，是原子核物理研究中的一项重要技术．一种方法是利用如图1所示的装置，在边界AC上方存在有区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，边界AC上有一狭缝．离子源放射出初速度可以忽略的正离子，离子进入电场并经电场加速后，穿过狭缝沿垂直于边界AC且垂直于磁场的方向射入磁场，最后打在置有离子接收器的区域CD上被收集．已知区域CD的右边界距狭缝的距离为L，左边界距狭缝足够远，整个装置内部为真空，不计离子重力，也不考虑离子间的相互作用．
（1）已知被加速的正离子质量为m，电荷量为q，加速电场的电势差为U，测得离子接收器单位时间内接收到的能量为E，则此离子源单位时间内放射的离子数为多少？
（2）若被加速的正离子有两种，质量分别是m₁和m₂（m₁＞m₂），电荷量均为q，忽略狭缝宽度的影响，要使这两种离子都被收集，则加速电压U应满足什么条件？
（3）在前面的讨论中忽略了狭缝宽度的影响，实际装置中狭缝有一定宽度d，且离子进入磁场时并不都垂直于AC边，而是被狭缝限制在2φ的小角度内，如图2，为保证质量分别是m₁和m₂（m₁＞m₂），电荷量均为q的两种正离子，全部被离子接收器在分辨率范围内分开（两种离子至少相距△s才能被区分开），则加速电压U应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）每个离子加速获得能量为qU，根据能量守恒定律列式分析即可；
（2）离子在电场中加速，根据动能定理列式分析；在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律列式并结合几何关系分析；
（3）根据第二问中轨道半径与质量关系得到质量越大，轨道半径越大；画出临界轨迹，结合几何关系和牛顿第二定律，列式得到AC边上离子的宽度表达式进行分析．

解答 解：（1）设离子源单位时间内放射的离子数为n，根据功能关系，有：E=n•$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=nqU，
即得离子源单位时间内放射的离子数为n=$\frac{E}{qU}$；
（2）正离子在电场中加速过程，有：
qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
正离子在磁场中运动过程，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
故r=$\frac{mv}{qB}=\sqrt{\frac{2mU}{q{B}^{2}}}$，
只要质量为m₂离子能到达接收器的区域，所有的离子都能被收集，则加速电压U至少应满足：
2r₂=L，
可解得：U=$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{8{m}_{2}}$，
故加速电压U应该满足U≥$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{8{m}_{2}}$；
（3）由r=$\frac{mv}{qB}=\sqrt{\frac{2mU}{q{B}^{2}}}$知，r与m的平方根成正比；
m₁打到最近的是从狭缝右端以φ角入射，到狭缝左端的距离为2r₁cosφ-d，
m₂打到最远的是从狭缝左端垂直入射，到狭缝左端的距离为2r₂，如图：

要将两种离子区分开，加速电压U至少应满足：
（2r₁cosφ-α）-2r₂=△s，
U=$\frac{q{B}^{2}（△s+α）^{2}}{8（\sqrt{{m}_{1}}cosφ-\sqrt{{m}_{2}}）^{2}}$，
同理，要使离子能到达接收器的区域，则加速电压U至少应该满足：
2r₂cosφ=L+d，
可解得：U=$\frac{q{B}^{2}（L+d）^{2}}{8{m}_{2}cosφ}$，
故加速电压U应该满足：
U≥$\frac{q{B}^{2}{（△s+α）}^{2}}{8{（\sqrt{{m}_{1}}cosφ-\sqrt{{m}_{2}}）}^{2}}$，且U≥$\frac{q{B}^{2}{（L+d）}^{2}}{8{m}_{2}cosφ}$；
答：（1）此离子源单位时间内放射的离子数为$\frac{E}{qU}$；
（2）要使这两种离子都被收集，则加速电压U应满足U≥$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{8{m}_{2}}$；
（3）加速电压U应满足U≥$\frac{q{B}^{2}{（△s+α）}^{2}}{8{（\sqrt{{m}_{1}}cosφ-\sqrt{{m}_{2}}）}^{2}}$，且U≥$\frac{q{B}^{2}{（L+d）}^{2}}{8{m}_{2}cosφ}$．

点评 本题是离子在磁场中运动的问题，关键是明确离子在电场中是直线加速，在磁场中是匀速圆周运动，画出临界轨迹，结合动能定理和牛顿第二定律列式分析．