Question

18．宇航员站在某一星球表面上H高处的位置，沿水平方向以初速度v₀水平抛出一个小球，小球落在星球表面，测得水平位移为x，已知该星球的半径为R，万有引力常量为G，求该星球：
（1）表面的重力加速度g；
（2）该星球的密度ρ；
（3）该星球的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）小球做平抛运动，由竖直方向与水平方向的位移公式，即可求得该星球表面的重力加速度g；
（2）运用竖直上抛运动规律求出星球表面重力加速度．忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式求解天体质量，从而算出星球的密度；
（3）该星球的近地卫星的向心力由万有引力提供，该星球表面物体所受重力等于万有引力，联立方程即可求出该星球的第一宇宙速度υ．

解答 解：（1）小球在星球表面做平抛运动，
水平方向有：x=v₀t
可得小球运动时间为：t=$\frac{x}{{v}_{0}}$
小球在竖直方向自由落体运动，有：H=$\frac{1}{2}$gt²
有小球在星球表面的重力加速度为：g=$\frac{2H}{{t}^{2}}$=$\frac{2H{v}_{0}^{2}}{{x}^{2}}$
（2）星球表面的小球所受重力等于星球对小球的吸引力，则有：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
由于V=$\frac{4π{R}^{3}}{3}$
则有：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3H{v}_{0}^{2}}{2πGR{x}^{2}}$
（3）物体在星球表面附近能做匀速圆周运动，其向心力由星球的吸引力提供，则有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\frac{{v}_{0}}{x}\sqrt{2HR}$
答：（1）该星球表面的重力加速度$\frac{2H{v}_{0}^{2}}{{x}^{2}}$；
（2）该星球的密度$\frac{3H{v}_{0}^{2}}{2πGR{x}^{2}}$；
（3）该星球的第一宇宙速度$\frac{{v}_{0}}{x}\sqrt{2HR}$．

点评 重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．本题要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向心力由引力提供．