Question

图示为仓库中常用的皮带传输装置示意图，它由两台皮带传送机组成，一台水平传送，A、B 两端相距3m ，另一台倾斜，传送带与地面的倾角θ= 37°, C、D 两端相距4.45m , B、C 相距很近。水平部分AB 以5m/s的速率顺时针转动。将质量为10 kg 的一袋大米放在A 端，到达B 端后，速度大小不变地传到倾斜的CD 部分，米袋与传送带间的动摩擦因数均为0.5。试求：

(1)若CD 部分传送带不运转，求米袋沿传送带所能上升的最大距离。

(2)若要米袋能被送到D 端，求CD 部分顺时针运转的速度应满足的条件及米袋从C 端到D 端所用时间的取值范围。(g=10m/s² ,sin37°=0.6 , cos37°=0.8）

Answer 1

（1）1.25m

（2）1.16s≤t≤2.1s

解析:

⑴米袋在AB上加速时的加速度：

a₀=μmg/m=μg=5m/s²①

米袋的速度达到v₀=5m/s/时运动的距离：

s₀=v₀²/2a₀=2.5m<3m②

因此米袋在达到B点之前就与传送带具有了相同的速度：

设米袋在CD上运动的加速度大小为a,上升的最大距离为s_max，由牛顿第二定律得：

a=(mgsinθ+μmgcosθ）/m=10m/s²③

由运动学公式：

s_max=v₀²/(2a)=1.25m④

⑵设CD部分运转速度为v₁(v₁<5m/s)时米袋恰能到达D点(即米袋到达D点时速度恰好为零)，则米袋速度减为v₁之前的加速度大小为：

a₁=(mgsinθ+μmgcosθ）/m=10m/s²⑤

米袋速度达到至减为零前的加速度大小为：

a₂=(mgsinθ-μmgcosθ）/m=2m/s²⑥

由运动学公式：

(v₀²-v₁²)/(2a₁)+v₁²/(2a₂)=4.45⑦  

解得v₁=4m/s，即要把米袋送到D点，CD部分的速度V_CD≥v₁=4m/s⑧  

米袋恰能运到D点所用时间最长为：

 t_max=(v₀-v₁)/a₁+v₁/a₂=2.1s⑨  

若CD部分传送带的速度很大，使米袋沿CD上滑时所受摩擦力一直沿皮带向上，则所用时间最短，此种情况米袋加速度一直为a₂。

由S_CD=v₀t_min-a₂t_min²/2⑩ 

解得t_min=1.16s（用带根式的答案也可）⑾ 

所以，所求的时间t的范围为1.16s≤t≤2.1s⑿