Question

18．在一段平直的公路上，质量为2×10³kg的汽车从静止开始做匀加速运动，加速度大小是5m/s²，经过2s汽车的功率达到额定功率，随后汽车以p=6×10⁴W的额定功率沿平直公路继续前进，又经过50s达到最大速度，设汽车所受的阻力恒定，大小为1.5×10³N，求：
（1）汽车行驶的最大速度的大小；
（2）汽车的速度为20m/s时的加速度大小；
（3）汽车从静止至达到最大速度的过程中，汽车牵引力所做的总功．

Answer 1

分析 （1）当牵引力等于阻力时，速度最大，根据P=Fv=fv求出最大速度．
（2）根据P=Fv求出速度为20m/s时的牵引力，根据牛顿第二定律求出汽车的加速度．
（3）根据运动学公式求出匀加速直线运动的位移，根据动能定理求出变加速直线运动的牵引力所做功；再由功率公式可求得后一段时间内所做功；则可求得总功．

解答 解：（1）根据P=Fv_m=fv_m
则有：v_m=$\frac{P}{f}$=$\frac{6×1{0}^{4}}{1.5×1{0}^{3}}$=40m/s；．
（2）汽车达到额定功率的速度为：v₀=5×2=10m/s；
故汽车速度为20m/s时，功率已达到额定功率．
由P=Fv得：F=$\frac{P}{v}=\frac{6×1{0}^{4}}{20}$=3×10³N
根据牛顿第二定律得：a=$\frac{F-f}{m}$=$\frac{3×1{0}^{3}-1.5×1{0}^{3}}{2×1{0}^{3}}$=0.75m/s²
（3）匀加速的位移为：
S₁=$\frac{v}{2}t=5×2m=10m$
由动能定理可得：
W₁-fs₁=$\frac{1}{2}$mv²；
解得：W₁=1.15×10⁵J；
变加速过程牵引力做功为：
W₂=Pt=6×10⁴×（50-2）=2.88×10⁶J
故全过程牵引力做功为：
W=W₁+W₂=1.15×10⁵+2.88×10⁶J=2.995×10⁶J
答：（1）汽车的最大速度为40m/s．
（2）汽车在20m/s时的加速度0.75m/s²．
（3）汽车从静止至达到最大速度的过程中，汽车牵引力所做的总功为2.995×10⁶J

点评 本题综合考查了牛顿第二定律、动能定理以及运动学公式，综合性较强，解决本题的关键知道当牵引力与阻力相等时，速度最大；并明确求功的方法．