Question

如图所示，A是半径为r的圆形光滑轨道，固定在木板B上，竖直放置；B的左右两侧各有一光滑挡板固定在地面上，使其不能左右运动，小球C静止放在轨道最低点，A，B，C质量相等．现给小球一水平向右的初速度v₀，使小球在圆型轨道的内侧做圆周运动，为保证小球能通过轨道的最高点，且不会使B离开地面，初速度v₀必须满足（　　）（重力加速度为g）

• A、最小值为

  4gr

• B、最大值为

  6gr

• C、最小值为

  5gr

• D、最大值为

  7gr

Answer 1

分析：小球在环内侧做圆周运动，通过最高点速度最小时，轨道对球的最小弹力为零，根据牛顿第二定律求出小球在最高点的最小速度；为了不会使环在竖直方向上跳起，小球在最高点对轨道的弹力不能大于2mg，根据牛顿第二定律求出最高点的最大速度，再根据机械能守恒定律求出小球在最低点的速度范围．

解答：解：在最高点，速度最小时有：mg=m

v 2 1

r

，解得：v₁=

gr

．
根据机械能守恒定律，有：2mgr+

1

2

mv₁²=

1

2

mv₁′²，解得：v₁′=

5gr

．
在最高点，速度最大时有：mg+2mg=m

v 2 2

r

，解得：v₂=

3gr

．
根据机械能守恒定律有：2mgr+

1

2

mv₂²=

1

2

mv₂′²，解得：v₂′=

7gr

．
所以为保证小球能通过轨道的最高点，且不会使B离开地面，初速度v₀必须满足：

5gr

≤v₀≤

7gr

．故CD正确，A、B错误．
故选：CD．

点评：本题综合考查了牛顿第二定律和机械能守恒定律，关键理清在最高点的两个临界情况，求出在最高点的最大速度和最小速度．