Question

18．如图所示，左右两端接有定值电阻R₁和R₂的长直导轨固定在水平面上，导轨所在空间有垂直于平面向上的匀强磁场，磁场磁感应强度为B，导轨间距为L，一质量为m，长度也为L，阻值不计的金属棒ab静止在导轨上，已知金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨足够长且电阻不计，重力加速度为g．
（1）当金属棒ab向右运动时，棒中感应电流的方向如何？
（2）若电键K处于闭合状态，让金属棒在恒定拉力F作用下由静止开始运动，求金属棒能达到的最大速度v；
（3）断开电键K，让金属棒在恒定拉力F作用下从静止开始运动，在未达到最大速度前，当流经电阻R₁的电流从零增大到I₀的过程中，通过电阻R₁的电荷量为q，求这段时间内在电阻R₁ 上所产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）根据右手定则得出棒中感应电流的方向．
（2）当导体棒所受的合力为零时，速度最大，结合闭合电路欧姆定律、切割产生的感应电动势公式和安培力公式求出最大速度．
（3）根据通过电阻R₁的电荷量，结合$q=\frac{△Φ}{R}$求出金属棒滑行的距离，根据电流的大小求出此时的速度，通过能量守恒求出电阻R₁ 上所产生的焦耳热Q．

解答 解：（1）根据右手定则知，棒中感应电流方向由a至b．
（2）杆匀速，受力平衡，F=μmg+F_安，
又总电阻${R}_{总}=\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$，I=$\frac{BL{v}_{m}}{{R}_{总}}$，F_安=BIL，
联立解得最大速度v_m=$\frac{（F-μmg）{R}_{1}{R}_{2}}{{B}^{2}{L}^{2}（{R}_{1}+{R}_{2}）}$．
（3）K断开，根据$q=\frac{△Φ}{R}$=$\frac{BLx}{{R}_{1}}$得，金属棒向前滑行的距离x=$\frac{q{R}_{1}}{BL}$，
又${I}_{0}=\frac{BLv}{{R}_{1}}$，解得此时的速度v=$\frac{{I}_{0}{R}_{1}}{BL}$，
根据能量守恒得，Q=$（F-μmg）x-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得Q=$（F-μmg）\frac{q{R}_{1}}{BL}$-$\frac{1}{2}m（\frac{{I}_{0}{R}_{1}}{BL}）^{2}$．
答：（1）当金属棒ab向右运动时，棒中感应电流的方向由a至b．
（2）金属棒能达到的最大速度为$\frac{（F-μmg）{R}_{1}{R}_{2}}{{B}^{2}{L}^{2}（{R}_{1}+{R}_{2}）}$；
（3）这段时间内在电阻R₁ 上所产生的焦耳热为$（F-μmg）\frac{q{R}_{1}}{BL}$-$\frac{1}{2}m（\frac{{I}_{0}{R}_{1}}{BL}）^{2}$．

点评 本题考查了电磁感应与力学和能量的综合运用，掌握安培力的经验表达式${F}_{A}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{总}}$，电量的经验表达式q=$n\frac{△Φ}{{R}_{总}}$，并能灵活运用．