Question

3．从地球的南极和北极同时发射一枚火箭，两火箭初速度大小相同，方向均沿极地的水平方向，经过时间t（约3.5h）两火箭相距最远为L，已知两火箭都沿着椭圆轨道飞行，地球半径为R，地表重力加速度为g，空气阻力忽略不计，下列说法正确的是（　　）

• A． 地心是椭圆轨道的一个焦点
• B． 两火箭一定会在赤道的上空相遇
• C． 两火箭最远相距L=4（$\frac{g{t}^{2}{R}^{2}}{{π}^{2}}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$-2R
• D． 火箭距地面的最大高度h=2（$\frac{g{t}^{2}{R}^{2}}{{π}^{2}}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$-R

Answer 1

分析 从地球南极和北极同时发射的两枚火箭均沿椭圆轨道运行，根据开普勒定律知道地球位于椭圆轨道的一个焦点上．火箭沿近地圆轨道运行时，由地球的万有引力提供向心力，据此列式可得到火箭运行的周期．物体在地球表面上，重力近似等于地球的万有引力，列式可得到重力加速度与地球半径的关系．火箭沿椭圆轨道运行时，由开普勒第三定律列式，得到周期与半长轴a的关系，将几个式子联立求出a，两火箭相距最远l=4a-2R

解答 解：A、从地球南极和北极同时发射的两枚火箭均沿椭圆轨道运行，地球位于椭圆轨道的一个焦点上，则A正确
B、运动轨迹图如图，且二者周期相同，则会在赤道上空相遇．则B正确
C、在椭圆轨道上运行的两枚火箭，当到达最远点时，此时两火箭相距最远．设椭圆轨道的半长轴为a，则两火箭相距最远l=4a-2R．
设火箭沿近地圆轨道运行的周期为T₀，火箭由地球的万有引力提供向心力，则得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$R\frac{4{π}^{2}}{{T}_{0}^{2}}$ ①
在地面上有：GM=gR² ②
由①②得：${T}_{0}=\sqrt{\frac{4{π}^{2}R}{g}}$③
设火箭沿椭圆轨道运行的周期为T，根据开普勒第三定律：$\frac{{a}^{3}}{{R}^{3}}=\frac{{T}^{2}}{{T}_{0}^{2}}$④
两火箭最远时，经历了$\frac{T}{2}$=t，即 T=2t⑤
由③④⑤得：$a=\root{3}{\frac{{t}^{2}{R}^{2}g}{{π}^{2}}}$，则L=4a-2R=$4\root{3}{\frac{{t}^{2}{R}^{2}g}{{π}^{2}}}-2R$，则C错误
D、火箭距地面的最大高度h为2l-R=2（$\frac{g{t}^{2}{R}^{2}}{{π}^{2}}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$-R则D正确
故选：ABD

点评 本题关键要理清思路，对于圆周运动，由万有引力等于向心力列式，对椭圆运动，运用开普勒第三定律研究，同时要正确画出火箭的运动轨迹，由几何知识求解．