Question

5．在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v₀垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成θ=60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，如图所示．不计粒子重力，求：
（1）粒子在磁场中运动的轨道半径r；
（2）粒子从M点运动到P点的总时间t．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直于电场进入第一象限，粒子做类平抛运动，由N到达P做圆周运动．粒子以此速度进入第四象限，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，利用洛伦兹力提供向心力的公式，可由牛顿第二定律求出在磁场中运动的半径．
（2）根据几何关系求得粒子转动的圆心角，再由圆周运动的性质明确总时间．

解答 解：（1）粒子垂直于电场进入第一象限，粒子做类平抛运动，将到达N点的速度分解得知：
vcosθ=v₀，
解得粒子离开电场时的速度大小为：v=2v₀．
粒子进入第四象限后，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，则有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为：R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$；
（2）画出轨迹如图，由几何知识得：ON=Rsin60°
粒子从M点到N点的时间为：t₁=$\frac{ON}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}R}{2{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}m}{qB}$
粒子从N到P所用的时间：t₂=$\frac{1}{3}$T=$\frac{1}{3}$$\frac{2πm}{qB}$
故有：t=t₁+t₂=$\frac{\sqrt{3}m}{qB}$+$\frac{1}{3}$$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{（3\sqrt{3}+2π）m}{3qB}$
答：（1）粒子在磁场中运动的轨道半径$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$；
（2）粒子从M点运动到P点的总时间为$\frac{（3\sqrt{3}+2π）m}{3qB}$

点评 粒子在电场中运动偏转时，常用能量的观点来解决问题，有时也要运用运动的合成与分解．粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定也是本题的一个考查重点，要正确画出粒子运动的轨迹图，能熟练的运用几何知识解决物理问题．