Question

据报道，在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600N的人在“宜居”行星表面的重量将变为960N．该行星绕恒星A旋转，其到恒星A的距离是地球到太阳距离的3倍，恒星A的质量为太阳质量的12倍．由此可推知，该行星的半径与地球半径之比为

 

；在该行星上的“一年”与在地球上的“一年”之比为

 

．

Answer 1

分析：（1）根据一个人地球表面与该行星表面重力之比，即可求出该行星表面与地球表面重力加速度之比．
在忽略自转的情况下，万有引力等于物体所受的重力，所以根据重力之比，可以该行星的半径与地球半径之比．
（2）行星绕恒星A做匀速圆周运动，由恒星A的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律可以列式得到该行星公式周期的表达式，同理，得到地球绕太阳周期的表达式，即可求出行星与地球公式周期之比，即是在该行星上的“一年”与在地球上的“一年”之比．

解答：解：
（1）在地球表面，有G_地=mg_地．
在该行星表面处，有G_行=mg_行．
则得，该行星表面与地球表面重力加速度之比为：
g_行：g_地=G_行：G_地=960N：600N=16：1
在忽略自转的情况下，万有引力等于物体所受的重力得
G

Mm

R2

=mg
有 R²=

GM

g

故

R 2 行

R 2 地

=

M行g地

M地g行

=4
所以该行星的半径与地球半径之比为2：1．
（2）对于行星绕恒星的运动，由恒星的万有引力提供行星的向心力，则有
    G

M恒m行

r2

=m行

4π2

T2

r
得行星公转周期为 T=2π

r3 GM恒

则得：该行星公转与地球公式周期之比为
 

T行

T地

=2π

r 3 行 GMA

：2π

r 3 地 GM日

=

3

2

即在该行星上的“一年”与在地球上的“一年”之比为3：2．
故答案为：2：1，3：2

点评：第1题根据黄金代换式g=

GM

r2

研究行星的半径与地球半径之比．第2题要建立行星绕恒星运动的模型，根据恒星的万有引力提供行星的向心力，列式求解周期关系．