Question

如图，ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是水平的，BD段为半径R=0.2 m的半圆，两段轨道相切于B点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小E=5.0×10³ V/m。一不带电的绝缘小球甲，以速度v₀沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞、已知甲、乙两球的质量均为m=1.0×10^-2 kg，乙所带电荷量q=2.0×10^-5 C，g取10 m/s²。（水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移）
(1)甲、乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离；
(2)在满足(1)的条件下，求甲的速度v₀；
(3)若甲仍以速度v₀向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围。

Answer 1

解：(1)在乙恰能通过轨道最高点的情况下，设乙到达最高点的速度为v_D，乙离开D点到达水平轨道的时间为t，乙的落点到B点的距离为x，则
 ①
 ②
x=v_Dt ③
联立①②③得x=0.4 m ④
(2)设碰撞后甲、乙的速度分别为v_甲、v_乙，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有
mv₀=mv_甲+mv_乙 ⑤
 ⑥
联立⑤⑥得v_乙=v₀ ⑦
由动能定理，得 ⑧
联立①⑦⑧得 ⑨
(3)设甲的质量为M，碰撞后甲、乙的速度分别为v_M、v_m，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有
Mv₀=Mv_M+mv_m ⑩

联立得⑩得 
由和M≥m，可得v₀≤vm<2v₀
设乙球过D点时的速度为v_D'，由动能定理得 
联立⑨得2 m/s≤v_D'<8 m/s
设乙在水平轨道上的落点距B点的距离为x'，有x'=v_D't
联立②得0.4 m≤x'<1.6 m