Question

15．如图所示为某种透明介质的截面图，△AOC为等腰直角三角形，BC为半径R=8cm的四分之一圆弧，AB与水平面屏幕MN垂直并接触于A点．由红光和紫光两种单色光组成的复色光射向圆心O，在AB分界面上的入射角i=45°，结果在水平屏幕MN上A点两侧各出现一个亮斑．已知该介质对红光和紫光的折射率分别为n₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，n₂=$\sqrt{2}$．
（1）通过计算判断两个亮斑的颜色；
（2）求出两个亮斑间的距离．

Answer 1

分析 （1）由全反射临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求出红光与紫光的临界角，则可判断是否能发生全反射，就能判断出两个亮斑的颜色；
（2）由折射定律及几何知识可求得两光斑的距离．

解答 解：（1）设红光和紫光的临界角分别为C₁、C₂．由全反射临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$可得：
sinC₁=$\frac{1}{{n}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，C₁=60°
同理可得：C₂=45°
由于入射角为：i=45°=C₂，i=45°＜C₁，
所以紫光在AB面发生全反射，且由几何关系可知反射光线与AC垂直，而红光在AB面一部分折射，一部分反射，所以在AM处得到的亮斑P₁为红色，在AN处得到的亮斑P₂为红色与紫色的混合色．
（2）画出如图光路图设折射角为r，两个光斑分别为P₁、P₂，根据折射定律有：
n₁=$\frac{sinr}{sini}$，
得：sinr=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
由几何知识可得：tanr=$\frac{R}{A{P}_{1}}$
解得：AP₁=4$\sqrt{2}$cm
由几何知识可得△OAP₂为等腰直角三角形，解得：AP₂=10 cm
所以两个亮斑间的距离为：P₁P₂=AP₁+AP₂=4（$\sqrt{2}$+2）cm
答：（1）在AM处产生的亮斑P₁为红色，在AN处产生的亮斑P₂为红色与紫色的混合色；
（2）两个亮斑间的距离为4（$\sqrt{2}$+2）cm．

点评 本题首先要能正确作出光路图，掌握全反射的条件，并能正确应用几何关系和折射定律结合进行解答．