Question

9．如图所示，质量为m的小球用长为L的细线拴在天花板上的O点，现将小球拉开，使摆线L与竖直方向的夹角为α，并使小球在水平面内做匀速圆周运动（这种运动通常称为圆锥摆运动）．求：
（1）细线的对小球的拉力大小；
（2）小球运动的线速度的大小；
（3）小球做圆周运动的角速度及周期．

Answer 1

分析 小球受重力和拉力，靠两个力的合力提供向心力，根据平行四边形定则求出拉力的大小，结合牛顿第二定律求出线速度的大小，根据线速度与角速度、周期的关系求出角速度和周期的大小．

解答 解：（1）小球的受力如图所示，小球受重力mg和绳子的拉力F，因为小球在水平面内做匀速圆周运动，靠合力提供向心力，根据平行四边形定则知，拉力为：
F=$\frac{mg}{cosα}$．
（2）根据牛顿第二定律得：
$mgtanα=m\frac{{v}^{2}}{Lsinα}$，
解得：v=$\sqrt{gLtanαsinα}$．
（3）小球做圆周运动的角速度为：$ω=\frac{v}{r}=\frac{\sqrt{gLtanαsinα}}{Lsinα}=\sqrt{\frac{g}{Lcosα}}$．
小球运动的周期为：T=$\frac{2π}{ω}=2π\sqrt{\frac{Lcosα}{g}}$．
答：（1）细线的对小球的拉力大小为$\frac{mg}{cosα}$；
（2）小球运动的线速度的大小为$\sqrt{gLtanαsinα}$；
（3）小球做圆周运动的角速度为$\sqrt{\frac{g}{Lcosα}}$，周期为$2π\sqrt{\frac{Lcosα}{g}}$．

点评 解决本题的关键知道小球做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，难度不大．