Question

5．质量m=1kg的小物块以初速度v₀=4m/s从B点沿切线方向进入光滑竖直的圆弧轨道BC．O点为圆弧的圆心，θ=60°，轨道半径R=0.8m，圆弧轨道与水平地面上长为L=2.4m的粗糙直轨道CD平滑连接．小物块沿轨道BCD运动并与右侧的竖直墙壁发生碰撞．（重力加速度g=10m/s²，空气阻力不计）求：
（1）小物块从B点运动到最低点C的过程中，重力做的功W_G；
（2）小物块第一次经过最低点C时，圆弧轨道对物块的支持力F_N；
（3）若小物块与墙壁碰撞后速度反向、大小变为碰前的一半，且只发生一次碰撞，那么小物块与轨道CD之间的动摩擦因数μ应该满足怎样的条件．

Answer 1

分析 （1）根据功的定义式由下落高度求解；
（2）根据机械能守恒求得在C点的速度，然后由牛顿第二定律求得支持力；
（3）根据动能定理求得和挡板碰撞前的速度，进而得到碰撞后的速度；然后由动能定理求解．

解答 解：（1）小物块从B点运动到最低点C的过程中，重力做的功为：
${W}_{G}=mgR（1-cosθ）=\frac{1}{2}mgR=4J$；
（2）物块从B到C的运动过程只有重力做功，故机械能守恒，即为：
$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+mgR（1-cosθ）$=12J；
故对物块在C点应用牛顿第二定律可得：
${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}=mg+\frac{m{{v}_{0}}^{2}+2mgR（1-cosθ）}{R}=40N$；
（3）小物块在CD上运动，只有摩擦力做功，故对物体从C到D应用动能定理有：
$-μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$；
那么，小物块与墙壁碰撞后速度反向、大小变为碰前的一半，则碰后的动能为：
${E}_{k}=\frac{1}{2}m（\frac{1}{2}{v}_{D}）^{2}=\frac{1}{4}（\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-μmgL）$；
因为只发生一次碰撞，碰后小物块运动只有摩擦力做功，故有：
E_k=μmgx，0≤x≤2L；
所以，$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-μmgL=4μmgx$，$μ=\frac{\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}}{mg（L+4x）}=\frac{12}{10（L+4x）}$，
2.4m=L≤L+4x≤9L=21.6m
所以，$\frac{12}{10×21.6}=\frac{1}{18}≤μ≤\frac{1}{2}$；
答：（1）小物块从B点运动到最低点C的过程中，重力做的功W_G为4J；
（2）小物块第一次经过最低点C时，圆弧轨道对物块的支持力F_N为40N；
（3）若小物块与墙壁碰撞后速度反向、大小变为碰前的一半，且只发生一次碰撞，那么小物块与轨道CD之间的动摩擦因数$\frac{1}{18}≤μ≤\frac{1}{2}$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．