Question

10．如图所示在一个B=2T的匀强磁场中，有一个边长L=0.2m的正方形线框，线框匝数n=10，线框内阻r=0.1Ω．开始时线框平面和磁场方向垂直，线框绕垂直于磁场方向的中心轴以360r/min的转速匀速转动，从图示时刻开始计时，求：
（1）过线框的磁通量随时间变化的表达式．
（2）线框中产生的电动势随时间变化的表达式．
（3）线框中电流随时间变化的图象．（规定沿abcd流的电流为正）
（4）线框转过90°的过程中，线框中电流的平均值，通过线框横截面的电量．
（5）线框转过90°的过程中，线框中电流的有效值，电流通过线框时产生的发热量．

Answer 1

分析 （1）根据磁通量∅=BScosωt，再结合ω=2πn，即可求解；
（2、3）先根据E_m=nBSω求出最大电动势，再根据闭合电路欧姆定律求出电流的最大值，最后根据感应电流与感应电动势的瞬时值表达式的关系即可求解；
（4）先求出电动势的平均值，根据欧姆定律求出电流平均值，再根据q=$\overline{I}t$求解电量；
（5）先求出电流的有效值，再根据Q=I²rt求解热量．

解答 解：（1）根据ω=2πn=2π×$\frac{360}{60}$=12πrad/s，
而磁通量∅=BScosωt=2×0.2×0.2×cos12πt（Wb）=0.08cos12πt（Wb）；
（2）产生的感应电动势最大值为E_m=nBSω=10×2×0.2×0.2×12πV=9.6πV
那么线框中产生的电动势随时间变化的表达式：e=9.6πsin12πt（V）；
（3）根据闭合电路欧姆定律，电流的最大值I_m=$\frac{{E}_{m}}{{R}_{总}}$=96πA
在图示位置时，电流有最小值，则电流的瞬时值表达式为i=I_msinωt，代入数值得
感应电流的瞬时表达式为：i=96πsin12πt（A）
因规定电流沿abcda的方向为正，则线框中电流随时间变化的图象如下图所示：

（4）在转过90°过程中的平均值为：
E_平均=$n\frac{△∅}{△t}=n\frac{BS}{\frac{T}{4}}=\frac{10×2×0.2×0.2}{\frac{1}{4}×\frac{2π}{12π}}$=19.2V
线框中电流的平均值$\overline{I}=\frac{{E}_{平均}}{r}=\frac{19.2}{0.1}=192A$，
通过线框横截面的电量q=$\overline{I}t=192×\frac{1}{4}×\frac{2π}{12π}=8C$
（5）电流的有效值I=$\frac{{I}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{9.6π}{0.1×\sqrt{2}}=\frac{96π}{\sqrt{2}}A$=213.2A，
则电流通过线框时产生的发热量Q=${I}^{2}rt=（{\frac{96π}{\sqrt{2}}）}^{2}×0.1×\frac{1}{4}×\frac{2π}{12π}$=189.3J
答：（1）穿过线框的磁通量随时间变化的表达式0.08cos12πt（Wb）；
（2）线框中产生的电动势随时间变化的表达式9.6πsin12πt（V）；
（3）画出线框中电流随时间变化的图象如上图所示；
（4）线框转过90°的过程中，线框中电流的平均值为192A，通过线框横截面的电量为8C．
（5）线框转过90°的过程中，线框中电流的有效值为213.2A，电流通过线框时产生的发热量为189.3J．

点评 本题考查了有关交流电描述的基础知识，要能根据题意写出瞬时值的表达式，知道有效值跟峰值的关系，注意磁通量大小与线圈的匝数无关，同时注意线圈的开始计时点是解题的关键．