Question

8．如图所示，一束截面为圆形半径为R的平行单色光，垂直射向一玻璃半球的平面，经折射后在屏幕S上形成一个圆形亮区，已知玻璃半球的半径为尺，屏幕S到球心的距离为d（d＞3R），不考虑光的干涉和衍射，玻璃对该光的折射率为n，求
（1）屏幕上被照亮区域的半径；
（2）若将题干中单色光改为白光，在屏幕S上形成的圆形亮区的边缘是什么颜色？

Answer 1

分析 （1）光线沿直线从O点穿过玻璃，方向不变．从A点射出玻璃砖的光线方向向右偏折，射到屏幕S上圆形亮区，作出光路图，由光的折射定律结合数学几何知识求出圆形亮区的半径．
（2）当光线从空气垂直射入半圆玻璃砖，光线不发生改变，当入射角小于临界角时，光线才能再从玻璃砖射出，所以平行白光中的折射率不同，导致临界角不同，因此偏折程度不同，从而确定圆形亮区的最外侧的颜色；

解答 解：（1）如图，单色光刚要发生全反射时的临界光线射在屏幕S上的点E到亮区中心G的距离r就是所求最大半径．设单色光临界角为C，
由全反射的知识得：sinC=$\frac{1}{n}$，
又：AB=RsinC=$\frac{R}{n}$，
OB=RcosC=R$\frac{\sqrt{{n}^{2}-1}}{n}$，BF=AB•tanC=$\frac{R}{n\sqrt{{n}^{2}-1}}$，GF=d-（OB+BF）=d-$\frac{nR}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$，$\frac{GE}{AB}=\frac{GF}{FB}$
所以有r=GE=$\frac{GF}{FB}$•AB=d•$\sqrt{{n}^{2}-1}$-nR
（2）紫色．当平行光从玻璃中射向空气时，由于紫光的折射率的最大，则临界角最小，所以首先发生全反射，因此出射光线与屏幕的交点最远．故圆形亮区的最外侧是紫光．
答：（1）若玻璃半球对（1）中最外侧色光的折射率为n，圆形亮区的最大半径为d•$\sqrt{{n}^{2}-1}$-nR．
（2）屏幕S上形成的圆形亮区的最外侧是紫光；

点评 本题考查光的折射．关键是作出光路图，根据几何知识求出入射角与折射角，知道折射率和临界角的关系，了解各种色光的波长和折射率的关系．