Question

如图，光滑管形圆轨道半径为R（两物体位移之差保持不变，管径远小于R），小球a、b大小相同，质量均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法错误的是（　　）

• A、速度v至少为v=2

  gR

  ，才能使两球在管内做圆周运动
• B、当v=

  5gR

  时，小球b在轨道最高点对轨道无压力
• C、当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg
• D、只要v≥

  5gR

  ，小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力大6mg

Answer 1

分析：题中两球的质量相同，相当于同一个球．要使小球能通过最高点，只要小球的速度大于零即可；当向心力等于重力时，小球对轨道没有压力，由向心力公式可求得小球在最高点时速度；再由机械能守恒可求得小球在最低点时的速度，由公式F=m

v2

R

得到小球在最低点时所需要的向心力，并能根据机械能守恒和牛顿运动定律求得最低点与最高点处压力的差值．

解答：解：
A、因小球在管内转动时，在最高点时，由管道能支撑小球，内管可对小球提供向上的支持力，与轻杆模型类似，故小球在最高点的最小速度为零．
设小球能做圆周运动，到达最低点时的最小速度为v．根据机械能守恒得：
  mg?2R=

1

2

mv2
得 v=2

gR

．故A正确；
B、当小球对轨道无压力时，由重力提供向心力，则有：mg=m

v 2 b

R

；解得：v_b=

gR

；即当速度为v=

gR

时，小球在轨道最高点对轨道无压力；
由机械能守恒定律可得，mg?2R=

1

2

mv_a²-

1

2

mv_b²；
得小球在最低点时的速度 v_a=

5gR

，故最低点速度v=

5gR

时，小球在最高点对轨道无压力；故B正确；
C、在最高点无压力时，向心力 F_b=mg；最低点时，向心力F_a=m

v 2 a

R

=5mg；即a球比b球所需向心力大4mg；故C错误；
D、当v≥

5gR

时，在最高点时，管道对小球有向下的压力，由F₁+mg=m

v 2 1

R

；解得 F₁=m

v 2 1

R

-mg；
最低点时，有 F₂-mg=m

v 2 2

R

；解得F₂=m

v 2 2

R

+mg；
  所以F₂-F₁=2mg+m

v 2 2

R

-m

v 2 1

R

；
由机械能守恒可得：mg?2R=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²；
则可得：F₂-F₁=6mg；
根据牛顿第三定律得：只要能做完整的圆周运动，压力之差都等于6mg；故D正确；
本题选错误的，故选：C

点评：小球在竖直面内的圆周运动，要区分绳子类型与轻杆类型，本题相当于轻杆模型．若是用绳拴着只有重力小于等于向心力时，小球才能通过；而用杆或在管内运动的小球，只要速度大于零，小球即可通过最高点．