Question

空间有一静电场，在x轴上的电场方向竖直向下，轴上的电场强度大小按E=kx分布（x是轴上某点到O点的距离），如图1所示．在O点正下方有一长为L的绝缘细线连接A、B两个均带负电的小球（可视为质点），A球距O点的距离为L，两球恰好静止，细绳处于张紧状态．已知A、B两球质量均为m，B所带电量为-q，k=

mg

3qL

，不计两小球之间的静电力作用．
（1）求A球的带电量；
（2）画出A球所受电场力F与x的图象；剪断细线后，A球向上运动，求A球运动的最大速度v_m；（提示：借助图2F-x图象可以确定电场力做功的规律）
（3）剪断细线后，求B球的运动范围．

Answer 1

分析：（1）选取AB组成的整体为研究的对象，写出平衡方程，即可求得A的电量；
（2）根据电场强度大小按E=kx分布，画出A球所受电场力F与x的图象；当A球受到的重力与电场力相等时，受到最大；根据动能定理即可求得A球运动的最大速度；
（3）剪断细线后，B球的先向下做加速运动，随受到的电场力的增大，加速度减小，所以B球做加速度减小的加速运动；当电场力大于重力之后，小球B做减速运动，直至返回．根据它受力的特殊性和运动的对称性即可求解．

解答：解：（1）A、B两球静止时，A球所处位置场强为：E1=k?L=

mg

3q

B球所处位置场强为：E2=k?2L=

2mg

3q

对A、B由整体法得：2mg=q_AE₁+qE₂
解得：q_A=4q
（2）A球所受电场力F与x的图象如图所示：

剪断细线后，A球向上运动，当A球的加速度为零时，速度达到最大，此时A球距O点距离为：
x₁mg=4qE=4q

mg

3qL

x1
解得：x1=

3L

4

剪断细线后，A球从运动到获得最大速度，A球上升的高度为：△x1=

L

4

由动能定理得：-mg△x1+

.

F

A△x1=

1

2

mvm2-0
由图象可知，可得：

.

F

A=

mg+ 4 3 mg

2

=

7

6

mg
解得：vm=

gL 12

（本题也可由F-x图象中图线与x轴所夹的面积求电场力做功）
（3）方法一：剪断细线后，设B球向下运动的最大位移为△x时，速度变为零 此时B球所受电场力为：FB=q

mg

3qL

(2L+△x)=

mg

3L

(2L+△x)
由动能定理得：mg△x-

.

F

B△x=0-0

.

F

B=

2mg 3 + (2L+△x)mg 3L

2

解得：△x=2L则B球的运动范围是：2L≤x≤4L
方法二：B球下落速度达到最大时，B球距O点距离为：x₀mg=qE=q

mg

3qL

x0
解得：x₀=3L                              
记x₀=3L位置处为O₁点，小球继续下落△x位移时，其所受合力为F
F=mg-qE=mg-q

mg

3qL

(3L+△x)=-

mg

3L

△x
由此可以判断：B球在回复力作用下做简谐运动．
简谐运动以O₁为平衡位置，振幅为L．
则B球的运动范围是：2L≤x≤4L
答：（1）A球的带电量为4q；
（2）画出A球所受电场力F与x的图象如图；剪断细线后，A球向上运动，A球运动的最大速度vm=

gL 12

；
（3）剪断细线后，B球的运动范围是：2L≤x≤4L．

点评：该题中，两个小球受到的力是变力，要根据它们受力变化的规律，正确分析得出它们运动的规律，然后才能做出正确的结论．题目的难度比较大．