Question

19．如图所示，高为h=3.2m、倾角为θ=53°的光滑斜面顶端有一质点A自静止开始下滑，与此同时在斜面底端有另一质点B在其他力的作用下自静止开始以加速度a=5m/s²沿光滑水平面向左做匀加速运动，质点A下滑到斜面底端能沿光滑的小圆弧部分平稳向B追去，取g=10m/s²，sin 53°=0.8．试通过计算判断质点A能否追上B．若能追上，求出相遇时B质点运动的位移；若不能追上，求出质点A、B在水平面上的最近距离．

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求出质点A的加速度，根据动能定理求出A到达底端的速度，根据速度时间公式求出A在斜面上的运动时间．抓住A、B速度相等时，两者的位移关系判断A是否追上B．

解答 解：质点A在斜面上的加速度为a₁=gsin53°=10×0.8m/s²=8m/s²
根据动能定理得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得滑块到达底端的速度为：v=$\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×3.2}m/s=8m/s$
此时运动的时间为：${t}_{1}=\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{8}{8}s=1s$
B的速度为：v₁=at₁=5×1m/s=5m/s，
两者相距的距离为：${x}_{1}=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}×5×1m=2.5m$
两者速度相等经历的时间为：${t}_{2}=\frac{v-{v}_{1}}{a}=\frac{8-5}{5}s=0.6s$
B又经历的位移为：${x}_{2}={v}_{1}{t}_{2}+\frac{1}{2}a{{t}_{2}}^{2}$=$5×0.6+\frac{1}{2}×5×0.36m$=3.9m
A又经历的位移为：
x₃=vt₂=8×0.6m=4.8m，
因为x₃-x₂＜x₁，可知A未能追上B．
最短距离△x=x₁-（x₃-x₂）=2.5-（4.8-3.9）m=1.6m．
答：不能追上，质点A、B在水平面上的最近距离为1.6m．

点评 本题考查了运动学中的追及问题，关键抓住临界状态，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解．