Question

在一个圆柱形的、竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底面都是密闭的，在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底。在圆柱内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动。开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图5—90所示，现有卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动。已知管筒半径r=0.100m，井的半径R=2r，水的密度ρ=1.00×10³kg/m³，大气压p₀=1.00×10⁵Pa，求活塞上升H=9.00m的过程中拉力F所做的功。（井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长，不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g取10m/s²）

Answer 1

1.65×10⁴J

解析:

题中未明确F是恒力还是变力，故首先要判断清楚。若活塞和水面之间出现真空，则F是恒力。

从开始提升到活塞升至内外水面高度差为

 m=10m

的过程中，活塞始终与管内的水接触。设活塞上升距离为h₁，管外水面下降距离为h₂，则

h₀=h₁+h₂，

因水的体积不变，有  ，

由以上两式得                m=7.5m。

题给H=9m＞h₁，由此可知确实有活塞下面是真空的一段过程。活塞移动距离从0到h₁的过程中，对于水和活塞这个整体，其机械能的增加量应等于除重力外其他力所做的功。因为始终无动能，所以机械能的增加量也就等于重力势能的增加量，即

 。

其他力有管内、外的大气压力和拉力F，因为水不可压缩，所以管内、外大气压力做的总功为                           p₀π(R²－r²)h₂－p₀πr² h₁=0，

故外力做的功就只是拉力F做的功，由功能关系知

 W₁=

  J≈1.18×10⁴J。

活塞移动距离从h到H的过程中，水面不变，F是恒力，

F=πr²p₀，

拉力F做功

W₂=F(H－h)= πr²p₀(H－h₁) = π×0.100²×1.0×10⁵×(9.00－7.5)J≈4.71×10³J。

所以，拉力F所做的总功为

 W=W₁+W₂=1.18×10⁴J+4.71×10³J≈1.65×10⁴J。